《2025年学力水平快乐假期快乐暑假七年级数学北师大版北京教育出版社》

6. 如图,点D,E分别在AB,AC上。
(1)已知BD= CE,CD= BE,求证：AB= AC。
(2)分别将“BD= CE”记为①,“CD= BE”记为②,“AB= AC”记为③。以①③为条件、②为结论构成命题1,以②③为条件、①为结论构成命题2。命题1是______真____命题,命题2是______假____命题。

答案：

(1)证明:如图,连接$BC$,

因为$BD=CE$,$CD=BE$,$BC=CB$,
所以$\triangle DBC\cong \triangle ECB(SSS)$,
所以$\angle DBC=\angle ECB$,
所以$\triangle BAE\cong \triangle CAD(SAS)$,
所以$AB=AC$.
(2)真 假

7. 如图,在△ABC中,AB= CB,∠ABC= 90°,F为AB延长线上一点,点E在线段BC上,且∠FCB= ∠EAB。
(1)求证：△ABE≌△CBF；
证明:因为∠ABC=90°,
所以∠CBF=∠ABE=90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
因为AB=BC,∠FCB=∠EAB,
所以Rt△ABE≌Rt△CBF(ASA).
(2)若∠CAE= 30°,求∠ACF的度数。
解:因为AB=BC,∠ABC=90°,
所以∠CAB=∠ACB=45°,
所以∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.
由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF,
所以∠BCF=∠BAE=15°,
所以∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.

答案：
(1)证明:因为$\angle ABC=90^{\circ}$,
所以$\angle CBF=\angle ABE=90^{\circ}$.
在$Rt\triangle ABE$和$Rt\triangle CBF$中,
因为$AB=BC$,$\angle FCB=\angle EAB$,
所以$Rt\triangle ABE\cong Rt\triangle CBF(ASA)$.
(2)解:因为$AB=BC$,$\angle ABC=90^{\circ}$,
所以$\angle CAB=\angle ACB=45^{\circ}$,
所以$\angle BAE=\angle CAB-\angle CAE=45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}$.
由
(1)知$Rt\triangle ABE\cong Rt\triangle CBF$,
所以$\angle BCF=\angle BAE=15^{\circ}$,
所以$\angle ACF=\angle BCF+\angle ACB=15^{\circ}+45^{\circ}=60^{\circ}$.