《2025年学力水平快乐假期快乐暑假七年级数学北师大版北京教育出版社》

对于问题二,小明提出了如下两种解决方法：
方法一：如图1所示,要测量水池的宽AB,可过点A作直线AC⊥AB,再由点C观测,在BA延长线上找一点B',使∠ACB'= ∠ACB,这时只要量出AB'的长,就得到AB的长,对吗？为什么？
解：对。
理由如下：
因为$AC\perp AB$，所以$\angle CAB = \angle CAB'=90^{\circ}$。
在$\triangle ABC$和$\triangle AB'C$中：
$\begin{cases}\angle ACB'=\angle ACB\\AC = AC\\\angle CAB=\angle CAB'\end{cases}$
根据$ASA$（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等）判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle AB'C$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$AB = AB'$。
即只要量出$AB'$的长，就得到$AB$的长。

答案： 解：对。
理由如下：
因为$AC\perp AB$，所以$\angle CAB = \angle CAB'=90^{\circ}$。
在$\triangle ABC$和$\triangle AB'C$中：
$\begin{cases}\angle ACB'=\angle ACB\\AC = AC\\\angle CAB=\angle CAB'\end{cases}$
根据$ASA$（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等）判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle AB'C$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$AB = AB'$。
即只要量出$AB'$的长，就得到$AB$的长。

方法二：如图2所示,要测量A,B之间的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C,D,使DC= BC,再过D点作出BF的垂线DG,并在DG上找一点E,使A,C,E在一条直线上,这时测得的DE的长度就是A,B之间的距离。
你能说出这是为什么吗？
小颖是这样思考的：
$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle B = \angle E D C , } \\ { B C = D C , } \\ { \angle A C B = \angle E C D } \end{array} \right. \Rightarrow \triangle A B C \cong \triangle E D C \Rightarrow A B = E D. $
你知道每一步的理由吗？
因为AB⊥BF，DE⊥BF，根据垂直的定义，所以∠B=90°，∠EDC=90°，则∠B=∠EDC（等量代换）已知条件对顶角相等ASA全等三角形的对应边相等
你还能想出其他的方法吗？
如图，在AB的一侧取一点O，连接AO并延长至C，使OC=OA，连接BO并延长至D，使OD=OB，连接CD，测量CD的长度即为AB的距离。证明：在△AOB和△COD中，OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，根据SAS可得△AOB≌△COD，所以AB=CD。

答案： 1. 首先分析小颖思考过程每一步的理由：
对于$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle EDC\\BC = DC\\\angle ACB=\angle ECD\end{array}\right.$：
$\angle B=\angle EDC$：
理由：因为$AB\perp BF$，$DE\perp BF$（已知$AB$的垂线$BF$，$DG$是$BF$的垂线，$DE$在$DG$上），根据垂直的定义，所以$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle EDC=90^{\circ}$，则$\angle B=\angle EDC$（等量代换）。
$BC = DC$：
理由：已知条件。
$\angle ACB=\angle ECD$：
理由：对顶角相等（$\angle ACB$与$\angle ECD$是对顶角）。
对于$\triangle ABC\cong\triangle EDC$：
理由：根据三角形全等判定定理$ASA$（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等），在$\triangle ABC$和$\triangle EDC$中，$\angle B=\angle EDC$，$BC = DC$，$\angle ACB=\angle ECD$，所以$\triangle ABC\cong\triangle EDC(ASA)$。
对于$AB = ED$：
理由：全等三角形的对应边相等（因为$\triangle ABC\cong\triangle EDC$，所以$AB$与$ED$是全等三角形的对应边）。
2. 然后想其他方法：
方法：
如图，在$AB$的一侧取一点$O$，连接$AO$并延长至$C$，使$OC = OA$，连接$BO$并延长至$D$，使$OD = OB$，连接$CD$，则$AB = CD$，测量$CD$的长度就是$AB$的距离。
证明：
在$\triangle AOB$和$\triangle COD$中，$\left\{\begin{array}{l}OA = OC\\\angle AOB=\angle COD\\OB = OD\end{array}\right.$。
根据$SAS$（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等），可得$\triangle AOB\cong\triangle COD(SAS)$。
再根据全等三角形的对应边相等，所以$AB = CD$。
综上，小颖思考过程中$\angle B=\angle EDC$是因为垂直定义和等量代换；$\triangle ABC\cong\triangle EDC$是根据$ASA$；$AB = ED$是因为全等三角形对应边相等。其他方法如上述取点$O$构造全等三角形（答案不唯一）。