《2025年学力水平快乐假期快乐暑假七年级数学北师大版北京教育出版社》

问题一：小明不小心将一块三角形的玻璃摔成了两块,哪块玻璃碎片能够使小明做出和原来大小、形状都相同的三角形玻璃呢？说说你的想法。
解答：图(2)
问题二：要测量池塘岸边两点A,B之间的距离(如图所示),你有几种方法？
解答：有三种方法，分别是利用SAS构造全等三角形、利用ASA构造全等三角形、利用相似三角形
问题一的答案很简单,由于图(1)中只能确定一个角,用它显然不能确定原来的三角形,但是图(2)中不仅能确定两个角的大小,而且这两个角的夹边也是确定的,根据“ASA”,可知由它能够确定原来的三角形。那么问题二的解决方案又是怎样的呢？先让我们回顾一下相关的知识。

答案： 【解析】：
方法一：
在平地上取一个可直接到达$A$、$B$的点$C$，连接$AC$、$BC$，并分别延长$AC$至$D$，$BC$至$E$，使$CD = AC$，$CE = BC$，连接$DE$。
因为$\left\{\begin{array}{l}AC = DC\\\angle ACB=\angle DCE\\BC = EC\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABC\cong\triangle DEC$，所以$DE = AB$，测量出$DE$的长度就是$A$、$B$两点之间的距离。
方法二：
在$AB$的垂线$BF$上取两点$C$、$D$，使$CD = BC$，过点$D$作出$BF$的垂线$DG$，并在$DG$上找一点$E$，使$A$、$C$、$E$在一条直线上。
因为$\left\{\begin{array}{l}\angle ABC=\angle EDC = 90^{\circ}\\BC = DC\\\angle ACB=\angle ECD\end{array}\right.$，根据$ASA$（角边角）定理可得$\triangle ABC\cong\triangle EDC$，所以$DE = AB$，测量出$DE$的长度就是$A$、$B$两点之间的距离。
方法三：
利用相似三角形的性质。
在地面上找一点$O$，连接$AO$、$BO$，在$AO$上取一点$C$，作$CD// AB$交$BO$于点$D$。
则$\triangle OCD\sim\triangle OAB$，根据相似三角形对应边成比例$\frac{CD}{AB}=\frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB}$。
测量出$OC$、$OA$、$CD$的长度，就可以根据比例关系$AB=\frac{OA× CD}{OC}$计算出$AB$的长度。
【答案】：
有三种方法，分别是利用$SAS$构造全等三角形（方法一）、利用$ASA$构造全等三角形（方法二）、利用相似三角形（方法三） 。