《2025年学力水平快乐假期快乐暑假七年级数学北师大版北京教育出版社》

4. 如果$x\neq 0$,对于$-x^{n}和(-x)^{n}$的关系,小明说它们相等,即$-x^{n}= (-x)^{n}$；而小芳说它们互为相反数,即$-x^{n}+(-x)^{n}= 0$.那么他们的说法对吗？请发表你的看法.
他们的说法都不全面。当$n$为偶数时，$-x^{n}$和$(-x)^{n}$互为相反数，小芳的说法正确；当$n$为奇数时，$-x^{n}$和$(-x)^{n}$相等，小明的说法正确。

答案： 【解析】：本题需要分情况讨论$n$的奇偶性，进而判断$-x^{n}$和$(-x)^{n}$的关系。
- 当$n$为偶数时：
$(-x)^{n} = [(-1)× x]^{n}=(-1)^{n}× x^{n}$，因为$n$为偶数，所以$(-1)^{n}=1$，则$(-x)^{n}=x^{n}$。
此时$-x^{n}+(-x)^{n}=-x^{n}+x^{n}=0$，说明$-x^{n}$和$(-x)^{n}$互为相反数，所以小芳的说法正确，小明的说法错误。
- 当$n$为奇数时：
$(-x)^{n} = [(-1)× x]^{n}=(-1)^{n}× x^{n}$，因为$n$为奇数，所以$(-1)^{n}=-1$，则$(-x)^{n}=-x^{n}$。
此时$-x^{n}=(-x)^{n}$，说明小明的说法正确，此时$-x^{n}+(-x)^{n}=-x^{n}-x^{n}=-2x^{n}\neq0$，所以小芳的说法错误。
【答案】：他们的说法都不全面。当$n$为偶数时，$-x^{n}$和$(-x)^{n}$互为相反数，小芳的说法正确；当$n$为奇数时，$-x^{n}$和$(-x)^{n}$相等，小明的说法正确。

5. 为参加摄影比赛,小明将自己的一幅作品放大为长$a\;\unit{cm}$、宽为$\dfrac {3}{4}a\;\unit{cm}$的长方形形状,又精心地在四周加上$2\;\unit{cm}$宽的木框,那么这幅作品在展览时的总面积是多少？

答案： $(\frac {3}{4}a^{2}+7a+16)cm^{2}$

6. 若$(x-6)(x+7)= x^{2}+Ax+B$,那么$A$,$B$分别是多少？而如果$4x^{2}+ax+9$是一个完全平方式,那么$a$又是多少？

答案： $A=1,B=-42,a=\pm 12$

7. 多项式$9x^{2}+1$加上一个单项式后,就成为一个整式的完全平方式,应该加上一个什么样的单项式？

答案： $\frac {81}{4}x^{4}$或$\pm 6x$