《2025年学力水平快乐假期快乐暑假七年级数学北师大版北京教育出版社》

探究1 如图,已知AD是△ABC的角平分线,在不添加任何辅助线的前提下,要使△AED≌△AFD,需添加一个条件。
你有哪些添加条件的方法？对每种方法给出证明。

探究2 如图,五边形ABCDE中,AB= AE,∠B= ∠E,BC= ED,F是CD的中点,求证：AF⊥CD。

探究3 如图,△ABC中,∠ABC= 45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连接DH与BE相交于点G。
(1)求证：BF= AC。

(2)CE与BG的大小关系如何？试证明。
探究4 如图1,∠BAC= 90°,AB= AC,AM为过点A的一条直线,且BD⊥AM,CE⊥AM。
(1)猜想线段DE,BD,CE的大小关系,并证明。
(2)当直线AM绕点A逆时针旋转到如图2的位置时,线段DE,BD,CE的大小又有怎样的关系？请直接写出结果。

经典题组·新解读
1. (1)全等←完全重合：①图形的形状相同,②图形的大小相等→两个图形所有对应部分完全重合。
(2)三角形全等判定的方法总共有5种,分别可以简记为SSS、SAS、ASA、AAS、HL,其中HL是仅仅适合于直角三角形全等的判定。
(3)在探究1中,可以添加AD= BC吗？为什么？
2. 对于探究2,当你结合图形看到题目中的条件“AB= AE,∠B= ∠E,BC= ED”时,你联想到了什么？
还可以从已知条件“F是CD的中点”及求证“AF⊥CD”入手,这是联想到等腰三角形三线合一（AF是等腰三角形△ACD底边CD的中线、高线）。
3. (1)全等三角形是证明线段或角相等的常用方法,其解决问题的关键是首先确定要证相等的线段或角,然后再找全等三角形的条件。
(2)在探究3(1)中图形较为复杂,可从结论BF= AC入手,追本溯源。
第(2)题,CE与BG不在同一三角形中,无法确定大小关系,可以通过全等变换等手段转移条件。
4. 对于探究4(1),你可以用目测的方法猜出DE= CE-BD吗？你发现了吗？DE所在的直线上有DE= AD-AE,而AD、AE看上去又很可能分别和CE、BD相等,试试看,△ABD与△CAE能全等吗？
需要突破的一个关键点是∠ABD= ∠CAE。
对于第(2)问,顺着第(1)问的思路,可用类比的方法得到吗？
证明边(或角)相等→找边或角所在的三角形全等；
证明三角形全等→找到证明三角形全等的条件,有些条件隐含在图形中,有些条件却需要我们根据已知条件进行转化。
温馨提示：(1)对于有关联的几个问题,在解决后面问题时注意应用前面已经得到的结论。
(2)类比的数学思想是很实用的！

答案： 探究1
- **添加条件$\angle AED=\angle AFD$
证明：
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle EAD = \angle FAD$。
在$\triangle AED$和$\triangle AFD$中，$\begin{cases}\angle EAD=\angle FAD\\\angle AED = \angle AFD\\AD = AD\end{cases}$（$AAS$判定定理：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）。
所以$\triangle AED\cong\triangle AFD$。
添加条件$\angle ADE=\angle ADF$
证明：
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle EAD=\angle FAD$。
在$\triangle AED$和$\triangle AFD$中，$\begin{cases}\angle EAD=\angle FAD\\AD = AD\\\angle ADE=\angle ADF\end{cases}$（$ASA$判定定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等）。
所以$\triangle AED\cong\triangle AFD$。
添加条件$AE = AF$
证明：
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle EAD=\angle FAD$。
在$\triangle AED$和$\triangle AFD$中，$\begin{cases}AE = AF\\\angle EAD=\angle FAD\\AD = AD\end{cases}$（$SAS$判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等）。
所以$\triangle AED\cong\triangle AFD$。
探究2
连接$AC$、$AD$。
证明：
在$\triangle ABC$和$\triangle AED$中，$\begin{cases}AB = AE\\\angle B=\angle E\\BC = ED\end{cases}$，根据$SAS$判定定理可得$\triangle ABC\cong\triangle AED$。
所以$AC = AD$。
因为$F$是$CD$的中点，所以$CF = DF$。
在$\triangle ACF$和$\triangle ADF$中，$\begin{cases}AC = AD\\CF = DF\\AF = AF\end{cases}$，根据$SSS$判定定理（三边对应相等的两个三角形全等）可得$\triangle ACF\cong\triangle ADF$。
所以$\angle AFC=\angle AFD$，又因为$\angle AFC+\angle AFD = 180^{\circ}$，所以$\angle AFC=\angle AFD = 90^{\circ}$，即$AF\perp CD$。
探究3
(1)证明$BF = AC$
证明：
因为$CD\perp AB$，$\angle ABC = 45^{\circ}$，所以$\triangle BCD$是等腰直角三角形，$BD = CD$。
因为$BE\perp AC$，$CD\perp AB$，所以$\angle BDF=\angle ADC = 90^{\circ}$，$\angle ABE+\angle A=\angle ACD+\angle A = 90^{\circ}$，则$\angle ABE=\angle ACD$。
在$\triangle BDF$和$\triangle CDA$中，$\begin{cases}\angle BDF=\angle ADC\\BD = CD\\\angle ABE=\angle ACD\end{cases}$，根据$ASA$判定定理可得$\triangle BDF\cong\triangle CDA$。
所以$BF = AC$。
(2)证明$CE=\frac{1}{2}BG$
证明：
连接$CG$。
因为$BE$平分$\angle ABC$，$\angle ABC = 45^{\circ}$，所以$\angle ABE=\angle CBE = 22.5^{\circ}$。
因为$\triangle BCD$是等腰直角三角形，$H$是$BC$边的中点，所以$DH$垂直平分$BC$，则$BG = CG$，$\angle GBC=\angle GCB = 22.5^{\circ}$，所以$\angle BGC = 135^{\circ}$，$\angle EGC = 45^{\circ}$。
因为$BE\perp AC$，所以$\angle BEC = 90^{\circ}$，$\triangle BEC$是等腰直角三角形，$CE = BE$。
又因为$\angle GBC=\angle GCB = 22.5^{\circ}$，$\angle EBC = 22.5^{\circ}$，所以$\angle ECG = 45^{\circ}$，$\triangle CEG$是等腰直角三角形，$CE = EG$。
因为$BG = CG$，根据勾股定理$CG=\sqrt{2}CE$（在等腰直角三角形$CEG$中，设$CE = x$，$CG=\sqrt{x^{2}+x^{2}}=\sqrt{2}x$），又因为$BG = CG$，$BE = CE$，且$BG = 2GE$（等腰直角三角形$BEC$，$BE = CE$，$\angle EGC = 45^{\circ}$，$\angle BEC = 90^{\circ}$，可得$BG = 2GE$，$GE = CE$），所以$CE=\frac{1}{2}BG$。
探究4
(1)证明$DE = CE - BD$
证明：
因为$BD\perp AM$，$CE\perp AM$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle ADB=\angle AEC = 90^{\circ}$，$\angle BAD+\angle CAE=\angle BAD+\angle ABD = 90^{\circ}$，则$\angle ABD=\angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CAE$中，$\begin{cases}\angle ADB=\angle AEC\\\angle ABD=\angle CAE\\AB = AC\end{cases}$，根据$AAS$判定定理可得$\triangle ABD\cong\triangle CAE$。
所以$AD = CE$，$BD = AE$。
因为$DE = AD - AE$，所以$DE = CE - BD$。
(2) $DE = BD - CE$**
证明思路：
因为$BD\perp AM$，$CE\perp AM$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle ADB=\angle AEC = 90^{\circ}$，$\angle BAD+\angle CAE=\angle BAD+\angle ABD = 90^{\circ}$，则$\angle ABD=\angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CAE$中，$\begin{cases}\angle ADB=\angle AEC\\\angle ABD=\angle CAE\\AB = AC\end{cases}$，$\triangle ABD\cong\triangle CAE(AAS)$，所以$AD = CE$，$BD = AE$，又因为$DE=AE - AD$，所以$DE = BD - CE$ 。
经典题组·新解读
1.
(1)完全重合。
(2)$5$；$SSS$；$SAS$；$ASA$；$AAS$；$HL$；$HL$。
(3)不可以，因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$AD$与$BC$不是$\triangle AED$与$\triangle AFD$的对应边，添加$AD = BC$不能证明$\triangle AED\cong\triangle AFD$。
2. 全等三角形（$\triangle ABC\cong\triangle AED$）；等腰三角形三线合一（$AF$是等腰三角形$\triangle ACD$底边$CD$的中线、高线）。
3.
(1)确定要证相等的线段或角；全等三角形的条件。
4. $ABD$；$CAE$。