《2025年学力水平快乐假期快乐暑假七年级数学北师大版北京教育出版社》

问题1 如图,直线a,b被直线c所截,且a//b。在不添加符号的条件下请尽可能多地写出图中你认为相等的角(不能全是对顶角)：∠1=∠5，∠2=∠6，∠4=∠6，∠3=∠5。
问题2 如图所示,直线a//b,直线c与直线a,b分别相交于点A,B,AM⊥b,垂足为点M。若∠1= 58°,则∠2= 32°。
问题3 一副直角三角板叠放在一起,现将含45°角的三角板ADE固定不动,把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转α(α= ∠BAD且0°＜α＜180°),使两块三角板至少有一组边平行。
(1)如图1,α= 15°时,BC//DE；
(2)请你分别在图2、图3中各画一种符合要求的图形,标出α,并完成下列填空：
图2中α= 75°时,BC//AD；图3中α= 135°时,AB//DE。
问题4 如图1、图2所示,已知AB//CD,分别探索图1、图2中∠P与∠A,∠C的关系,并对每个关系加以说明。
图1中∠A+∠C+∠P=360°，图2中∠P=∠A-∠C
经典题组·新解读
1. 问题1考查对顶角与平行线的性质。
(1)对顶角的两边一定是互为反向延长线；对顶角的性质：对顶角相等。
(2)平行线的性质与判定互逆
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行 
(3)请指出问题1中两个角的位置关系：
∠1与∠2是对顶角,∠1与∠3是同位角,∠1与∠4是内错角,∠2与∠5是同位角,∠4与∠5是同旁内角,∠3与∠4是邻补角。
2. 问题2考查平行公理、垂线公理。
(1)当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时叫作两条直线互相垂直。
(2)经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行；在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
(3)若a//b,b//c,则a//c；在同一平面内,若a⊥c,a⊥b,则c//b；若a//b,a⊥c,则c⊥b。
(4)“两直线垂直→交角为90°”,位置关系与数量关系可互相转化,解决类似问题2的问题易忽视第二个条件,而导致丢失互余的性质,仅仅得到同位角或对顶角的度数就以为是最终答案。
3. 借助问题4谈辅助线：
(1)你能从条件“AB//CD”获得角的关系吗？
能，AB//CD可以得到同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
(2)你看到了：缺少与AB,CD同时相交的线。
①可以作直线AC或连接AC吗？
可以作直线AC或连接AC，利用三角形内角和或平行线性质求解
②可以过点P作PE//CD(或AB)吗？
可以过点P作PE//CD（或AB），利用平行线的性质求解
③可以延长AP(CP)与DC(BA)的延长线相交吗？
可以延长AP（CP）与DC（BA）的延长线相交，利用三角形外角性质和平行线性质求解

答案： 问题1
根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等）可得：
$\angle 1 = \angle 5$，$\angle 2 = \angle 6$，$\angle 4 = \angle 6$，$\angle 3 = \angle 5$
问题2
因为$a// b$，$AM\perp b$，所以$AM\perp a$（如果一条直线垂直于一组平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线）。
$\angle 1$与$\angle 2$互余（直角三角形两锐角互余），已知$\angle 1 = 58^{\circ}$，则$\angle 2=90^{\circ}-\angle 1 = 90^{\circ}- 58^{\circ}=32^{\circ}$
问题3
(1) 当$BC// DE$时，$\angle BAC+\angle CAD+\angle DAE = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补），$\angle BAC = 30^{\circ}$，$\angle DAE = 90^{\circ}$，所以$\alpha=\angle CAD = 180^{\circ}-30^{\circ}-90^{\circ}=15^{\circ}$。
(2) 图2：当$BC// AD$时，$\alpha=\angle BAC+\angle CAD = 30^{\circ}+45^{\circ}=75^{\circ}$；图3：当$AB// DE$时，$\alpha=\angle BAD = 45^{\circ}+90^{\circ}=135^{\circ}$。
问题4
图1：过点$P$作$PE// AB$，因为$AB// CD$，$PE// AB$，所以$PE// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
$\angle A+\angle APE = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补），$\angle C+\angle CPE = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补），$\angle P=\angle APE+\angle CPE$，所以$\angle A+\angle C+\angle P = 360^{\circ}$。
图2：过点$P$作$PF// AB$，因为$AB// CD$，$PF// AB$，所以$PF// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
$\angle A=\angle APF$（两直线平行，内错角相等），$\angle C=\angle CPF$（两直线平行，内错角相等），$\angle P=\angle APF-\angle CPF$，所以$\angle P=\angle A - \angle C$。
经典题组·新解读
1.
(1) 反向延长；对顶角相等。
(2) 相等；相等；互补。
(3) 对顶角；同位角；内错角；同位角；同旁内角；邻补角。
2.
(1) 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时。
(2) 且只有一；一点。
3.
(1) 能，$AB// CD$可以得到同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
(2) ①可以作直线$AC$或连接$AC$，利用三角形内角和或平行线性质求解；②可以过点$P$作$PE// CD$（或$AB$），利用平行线的性质求解；③可以延长$AP$（$CP$）与$DC$（$BA$）的延长线相交，利用三角形外角性质和平行线性质求解。