《2025年学力水平快乐假期快乐暑假七年级数学北师大版北京教育出版社》

1. 下列运算正确的是______③④.
① $ a^{2} \cdot a^{3} = a^{6} $
② $ - 2 a ^ { - 2 } = - \frac { 1 } { 4 a ^ { 2 } } $
③ $ ( - a ) ^ { 6 } ÷ ( - a ) ^ { 3 } = - a ^ { 3 } $
④ $ - a ^ { 2 } - 2 a ^ { 2 } = - 3 a ^ { 2 } $
⑤ $ ( - a ^ { 2 } ) ^ { 3 } = a ^ { 5 } $
⑥ $ ( 3 a ^ { 3 } ) ^ { 2 } ÷ 4 a ^ { 3 } = \frac { 3 } { 4 } a ^ { 2 } $
2. (1) 计算 $ ( 0.04 ) ^ { 2019 } × [ ( - 5 ) ^ { 2019 } ] ^ { 2 } = $______1；
(2) 若 $ a ^ { x } = 2, a ^ { y } = 3 $,则 $ a ^ { 2 x - y } = $______$\frac{4}{3}$；
(3) 若 $ ( x - 2 ) ^ { x + 1 } = 1 $,则整数 $ x $ 的值是______$-1$，$3$，$1$.
3. (1) $ \frac { 1 } { 2 } x \cdot ( - 6 x ) = $______$-3x^{2}$；
(2) $ - 2 a ^ { 2 } b ( 2 a - 3 b + 1 ) = $______$-4a^{3}b + 6a^{2}b^{2} - 2a^{2}b$；
(3) $ ( 4 x - 3 y ) ( 3 y - 4 x ) = $______$-16x^{2}+24xy - 9y^{2}$；
(4) $ ( - 4 x - 3 y ) ( 4 x - 3 y ) = $______$9y^{2}-16x^{2}$.
4. 先化简,再求值：
(1) $ ( a + 2 ) ( a - 2 ) + a ( 4 - a ) $,其中 $ a = 2 $；
解：
$\begin{aligned}&(a + 2)(a - 2)+a(4 - a)\\=&a^{2}-4 + 4a - a^{2}\\=&4a - 4\end{aligned}$
当$a = 2$时，$4a - 4=4×2 - 4 = $4。
(2) 已知 $ 2 x + 1 = 3 $,求 $ ( 2 x - 3 ) ^ { 2 } + 4 x ^ { 2 } + 2 x - 1 $ 的值；
解：由$2x + 1 = 3$得$2x = 2$，$x = 1$。
$\begin{aligned}&(2x - 3)^{2}+4x^{2}+2x - 1\\=&4x^{2}-12x + 9 + 4x^{2}+2x - 1\\=&8x^{2}-10x + 8\end{aligned}$
当$x = 1$时，$8x^{2}-10x + 8=8×1^{2}-10×1 + 8 = $6。
(3) $ ( 4 a b ^ { 3 } - 8 a ^ { 2 } b ^ { 2 } ) ÷ 4 a b + ( 2 a + b ) ( 2 a - b ) $,其中 $ a = 2, b = 1 $.
解：
$\begin{aligned}&(4ab^{3}-8a^{2}b^{2})÷4ab+(2a + b)(2a - b)\\=&b^{2}-2ab + 4a^{2}-b^{2}\\=&4a^{2}-2ab\end{aligned}$
当$a = 2$，$b = 1$时，$4a^{2}-2ab=4×2^{2}-2×2×1 = $12。
5. 现规定一种运算：$ a * b = a b + a - b $,则 $ a * b + ( b - a ) * b $ 等于( B )

A.$ a ^ { 2 } - b $
B.$ b ^ { 2 } - b $
C.$ b ^ { 2 } $
D.$ b ^ { 2 } - a $
6. 在边长为 $ a $ 的正方形中挖掉一个边长为 $ b $ 的小正方形 $ ( a ＞ b ) $. 把余下的部分剪拼成一个矩形(如图). 通过计算图形(阴影部分)的面积,能验证的一个等式是______$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$.

经典题组·新解读
1. (1) 同底数幂的乘法：$ a ^ { m } \cdot a ^ { n } = a ^ { m + n } $,同底数幂的除法：______$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}(a\neq0,m,n$是正整数，$m\gt n)$,幂的乘方：______$(a^{m})^{n}=a^{mn}(m,n$是正整数),积的乘方：______$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}(n$是正整数).
2. (3) $ ( - a + b ) ( a + b ) = $______$b^{2}-a^{2}$,$ ( - a - b ) ^ { 2 } = $______$a^{2}+2ab + b^{2}$.
(4) 由 $ ( a + b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } $ 可知：
$ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = $______$(a + b)^{2}-2ab$；
$ ( a + b ) ^ { 2 } + ( a - b ) ^ { 2 } = $______$2a^{2}+2b^{2}$；
$ ( a + b ) ^ { 2 } - ( a - b ) ^ { 2 } = $______$4ab$.
3. 代数式求值一般有两类：① 给出代数式中所有字母的值,这时往往先化简,再代入字母的值求解,如第 4 题中的______(1)题；② 给出代数式字母之间关系,这往往需要对已知关系式和求值式分别进行变形再整体代入,如第 4 题中的______(2)题.
5. 图形分割重组后,______面积不变,改变的是______形状.
6. 本节题组中需要逆向思维的是______2题,分类讨论的是______2题. 运用转化思想的是______4题,运用数形结合的是______6题.

答案： 1. ③④
2.
(1) $1$；
(2) $\frac{4}{3}$；
(3) $-1$，$3$，$1$
3.
(1) $-3x^{2}$；
(2) $-4a^{3}b + 6a^{2}b^{2} - 2a^{2}b$；
(3) $-16x^{2}+24xy - 9y^{2}$；
(4) $9y^{2}-16x^{2}$
4.
(1) 解：
$\begin{aligned}&(a + 2)(a - 2)+a(4 - a)\\=&a^{2}-4 + 4a - a^{2}\\=&4a - 4\end{aligned}$
当$a = 2$时，$4a - 4=4×2 - 4 = 4$。
(2) 解：由$2x + 1 = 3$得$2x = 2$，$x = 1$。
$\begin{aligned}&(2x - 3)^{2}+4x^{2}+2x - 1\\=&4x^{2}-12x + 9 + 4x^{2}+2x - 1\\=&8x^{2}-10x + 8\end{aligned}$
当$x = 1$时，$8x^{2}-10x + 8=8×1^{2}-10×1 + 8 = 6$。
(3) 解：
$\begin{aligned}&(4ab^{3}-8a^{2}b^{2})÷4ab+(2a + b)(2a - b)\\=&b^{2}-2ab + 4a^{2}-b^{2}\\=&4a^{2}-2ab\end{aligned}$
当$a = 2$，$b = 1$时，$4a^{2}-2ab=4×2^{2}-2×2×1 = 12$。
5. B
6. $a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$
经典题组·新解读
1.
(1) $a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}(a\neq0,m,n$是正整数，$m\gt n)$；$(a^{m})^{n}=a^{mn}(m,n$是正整数)；$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}(n$是正整数)
2.
(3) $b^{2}-a^{2}$；$a^{2}+2ab + b^{2}$
(4) $(a + b)^{2}-2ab$；$2a^{2}+2b^{2}$；$4ab$
3. ①
(1)；②
(2)
5. 面积；形状
6. 2；2；4；6