《2025年聪明屋寒暑假作业系列丛书暑假作业八年级广西专版》

2. 已知甲、乙两组数据的平均数都是5,甲组数据的方差$s_{甲}^{2}= \frac{1}{12}$,乙组数据的方差$s_{乙}^{2}= \frac{1}{10}$,那么下列说法正确的是( )。

A.甲组数据比乙组数据的波动大
B.乙组数据比甲组数据的波动大
C.甲组数据与乙组数据的波动一样大
D.甲、乙两组数据的波动大小不能比较

答案： 【解析】：
本题考查的是方差的意义。
方差是衡量数据波动大小的一个指标，方差越大，说明数据的波动越大；方差越小，说明数据的波动越小。
题目给出了甲、乙两组数据的方差，分别为 $s_{甲}^{2}= \frac{1}{12}$ 和 $s_{乙}^{2}= \frac{1}{10}$。
我们需要比较这两个方差的大小，以判断哪组数据的波动更大。
首先，我们计算两个方差的差：
$\frac{1}{10} - \frac{1}{12} = \frac{6}{60} - \frac{5}{60} = \frac{1}{60} ＞ 0$
由于 $\frac{1}{10} ＞ \frac{1}{12}$，说明乙组数据的方差大于甲组数据的方差。
因此，乙组数据的波动比甲组数据的波动大。
【答案】：
B

3. 图1是甲、乙两地5月下旬的前6天日平均气温统计图,则甲、乙两地这6天日平均气温的方差大小关系为：$s_{甲}^{2}$______$s_{乙}^{2}$(填“＜”或“＞”),甲、乙两地气温更稳定的是______。

答案： 【解析】：
本题考查的是对方差的意义的理解和应用。
首先，观察统计图，可以看到甲地的气温数据波动较大，而乙地的气温数据相对较为平稳。
方差是衡量数据波动大小的一个统计量，方差越大，说明数据的波动越大，即数据越不稳定；反之，方差越小，说明数据的波动越小，即数据越稳定。
因此，可以推断出甲地的方差$s_{甲}^{2}$会大于乙地的方差$s_{乙}^{2}$。
同时，由于乙地的气温数据更为平稳，所以乙地的气温更稳定。
【答案】：
$s_{甲}^{2}＞s_{乙}^{2}$；乙地。

4. 为检测一批皮筋的弹性,现抽取15条皮筋测出它们的抗拉伸程度如下(单位：牛顿)：
5 4 5 4 5 5 3 3 7 5 7 6 3 6 6
(1)这批皮筋的抗拉伸程度的极差为______牛顿；
(2)当生产产品的抗拉伸程度的方差大于1.3时,这家工厂就应对机器进行检修,现在这家工厂是否应检修生产设备？通过计算说明。

答案： 【解析】：
本题主要考察极差和方差的计算。
(1) 极差是一组数据中最大值与最小值的差。
首先，我们找出这组数据的最大值和最小值。
最大值为7牛顿，最小值为3牛顿。
所以，极差 $= 7 - 3 = 4$ 牛顿。
(2) 方差是衡量数据波动大小的一个指标，方差越大，说明数据的波动越大。
方差的计算公式为：
$S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$
其中，$n$ 是数据的数量，$x_i$ 是每一个数据，$\bar{x}$ 是数据的平均数。
首先，我们计算这组数据的平均数：
$\bar{x} = \frac{5+4+5+4+5+5+3+3+7+5+7+6+3+6+6}{15} = 5$
然后，我们代入方差的公式进行计算：
$S^2 = \frac{1}{15}[(5-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2+(3-5)^2+(3-5)^2+(7-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2+(6-5)^2+(3-5)^2+(6-5)^2+(6-5)^2]$
$= \frac{1}{15}[0+1+0+1+0+0+4+4+4+0+4+1+4+1+1]$
$= \frac{1}{15} × 25$
$= \frac{5}{3} \approx 1.67$
由于 $1.67 ＞ 1.3$，所以这家工厂应检修生产设备。
【答案】：
(1) 4
(2) 这家工厂应检修生产设备，因为方差约为1.67，大于1.3。