《2025年聪明屋寒暑假作业系列丛书暑假作业八年级广西专版》

2. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ).

A.对角相等
B.对边相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分

答案： 2. C

3. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是$40^{\circ }$,则两条对角线所成锐角的度数为( ).

A.$50^{\circ }$
B.$60^{\circ }$
C.$70^{\circ }$
D.$80^{\circ }$

答案： 3. D

4. 如图1,有一个矩形纸片$ABCD$,$AB = 10$,$AD = 6$,将纸片折叠,使$AD边落在AB$边上,折痕为$AE$(如图2),再以$\triangle AED的DE$边为折痕向右折叠,$AE与BC交于点F$(如图3),则$\triangle CEF$的面积为( ).

A.4
B.6
C.8


D.10

答案： 4. C

5. 如图4,过矩形$ABCD的对角线BD上一点R分别作矩形两边的平行线MN与PQ$,那么图中矩形$AMRP的面积S_{1}与矩形QCNR的面积S_{2}$的大小关系是( ).

A.$S_{1}＞S_{2}$
B.$S_{1}= S_{2}$
C.$S_{1}＜S_{2}$
D.不能确定

答案： 5. B

6. 如图5,矩形$ABCD$中,$AC与BD交于点O$,$BE\perp AC于E$,$CF\perp BD于F$. 求证：$BE = CF$.

答案： 【解析】：本题可根据矩形的性质得出$OB = OC$，再通过证明$\triangle BOE$和$\triangle COF$全等，进而得出$BE = CF$。
1. 首先明确矩形$ABCD$的性质：矩形的对角线相等且互相平分，所以$AC = BD$，$OA = OC=\frac{1}{2}AC$，$OB = OD=\frac{1}{2}BD$，由此可得$OB = OC$。
2. 因为$BE\perp AC$，$CF\perp BD$，所以$\angle BEO = \angle CFO = 90^{\circ}$。
3. 又因为对顶角相等，所以$\angle BOE = \angle COF$。
4. 在$\triangle BOE$和$\triangle COF$中，$\angle BEO = \angle CFO$，$\angle BOE = \angle COF$，$OB = OC$，根据“$AAS$”（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）可判定$\triangle BOE\cong\triangle COF$。
5. 根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，所以$BE = CF$。
【答案】：证明：
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AC = BD$，$OA = OC=\frac{1}{2}AC$，$OB = OD=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore OB = OC$。
$\because BE\perp AC$，$CF\perp BD$，
$\therefore \angle BEO = \angle CFO = 90^{\circ}$。
又$\because \angle BOE = \angle COF$，
在$\triangle BOE$和$\triangle COF$中，
$\begin{cases}\angle BEO = \angle CFO\\\angle BOE = \angle COF\\OB = OC\end{cases}$
$\therefore \triangle BOE\cong\triangle COF(AAS)$。
$\therefore BE = CF$。