《2025年聪明屋寒暑假作业系列丛书暑假作业八年级广西专版》

当小光一家兴冲冲地飞驰在公路上,眼看就要到达目的地时,意外发生了——车子突然向路边侧滑。幸亏爸爸反应快,车子才慢慢停了下来。一家人赶紧下车查看,原来是前轮爆胎了。爸爸说,只要把备胎换上就行了。爸爸从后备箱取出备胎和工具,开始忙活,其中千斤顶引起了小光的注意。这种千斤顶利用了四边形的不稳定性,如图1,其基本形状是一个菱形,中间通过螺杆连接,转动手柄可改变BD的长度(菱形的边长不变),∠ADC的大小随之改变,从而改变千斤顶的高度(即A,C之间的距离)。
已知AB= 20cm,当∠ADC从60°变为120°时,千斤顶升高了多少？(√2≈1.414,√3≈1.732,结果保留整数)
同学们,这个问题你能解决吗？

答案： 【解析】：
本题考查菱形的性质和三角函数的应用。
当$\angle ADC=60^\circ$时，
因为四边形$ABCD$是菱形，
所以$AC\perp BD$，$AO=\frac{1}{2}AC$，$BO=\frac{1}{2}BD$，
所以$\triangle ADC$是等边三角形，
所以$AC=AB=20$（cm）。
当$\angle ADC=120^\circ$时，
因为四边形$ABCD$是菱形，
所以$AC\perp BD$，$AO=\frac{1}{2}AC$，$BO=\frac{1}{2}BD$，$\angle ADO=\frac{1}{2}\angle ADC=60^\circ$，
所以$\sin\angle ADO=\frac{AO}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以$AO=10\sqrt{3}$（cm），
所以$AC=20\sqrt{3}$（cm），
所以当$\angle ADC$从$60^\circ$变为$120^\circ$时，千斤顶升高了$(20\sqrt{3}-20)$cm，
将$\sqrt{3}\approx1.732$代入得：
$20\sqrt{3}-20\approx20×1.732-20\approx15$（cm）。
【答案】：
千斤顶升高了$15$cm。