《2025年聪明屋寒暑假作业系列丛书暑假作业八年级广西专版》

5. 星期天,张明的妈妈和张明做了一个小游戏.张明的妈妈说:“你现在学习了二次根式,若$x表示\sqrt {10}$的整数部分,$y$表示它的小数部分,我钱包里的钱数是$(\sqrt {10}+x)y$元,你猜一猜钱包里的钱是多少?”请你算一算.

答案： $x = 3$，$y = \sqrt{10} - 3$，则 $(\sqrt{10} + x)y = (\sqrt{10} + 3)(\sqrt{10} - 3) = (\sqrt{10})^{2} - 9 = 1$，所以张明妈妈的钱包里只有 $1$ 元钱，相信张明一定能得到她妈妈包里的钱。

细心观察图2,认真分析各式,然后解答问题.
$(\sqrt {1})^{2}+1= 2$,$S_{1}= \frac {\sqrt {1}}{2}$;
$(\sqrt {2})^{2}+1= 3$,$S_{2}= \frac {\sqrt {2}}{2}$;
$(\sqrt {3})^{2}+1= 4$,$S_{3}= \frac {\sqrt {3}}{2}$;
……
(1)用含有$n$($n$是正整数)的等式表示上述变化规律;
(2)求$OA_{10}$的长;
(3)求$S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}+... +S_{10}^{2}$的值.

答案：
(1) $(\sqrt{n})^{2} + 1 = n + 1$，$S_{n} = \frac{\sqrt{n}}{2}$
(2) $\sqrt{10}$
(3) $S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + S_{3}^{2} + \cdots + S_{10}^{2} = (\frac{\sqrt{1}}{2})^{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} + \cdots + (\frac{\sqrt{10}}{2})^{2} = \frac{1}{4} × (1 + 2 + 3 + \cdots + 10) = \frac{55}{4}$