《2025年聪明屋寒暑假作业系列丛书暑假作业八年级广西专版》

勾股定理的证明有很多种方法,同学们,你掌握了其中的几种呢？
图14中是用硬纸板做成的形状、大小完全相同的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c；图15中是以c为直角边的等腰直角三角形。请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明出勾股定理的图形。


(1)画出拼成的这个图形的示意图,写出它是什么图形；
(2)用这个图形推出$a^{2}+b^{2}= c^{2}$；(勾股定理)
(3)假设图14中的直角三角形有若干个,你还能用其他方法拼得能推出$a^{2}+b^{2}= c^{2}$的图形吗？请画出拼后的示意图。(无需证明)

答案： 【解析】：
(1)考虑将两个直角三角形拼成一个梯形，使它们的斜边构成梯形的腰，直角边构成梯形的上底和下底，从而形成一个等腰梯形。
(2)为了证明$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，可以利用梯形的面积公式和三角形的面积公式。首先计算梯形的面积，然后计算梯形中包含的三个三角形的面积之和，通过比较两者可以得出$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
(3)除了上述方法，还可以考虑其他拼接方式，如将多个直角三角形拼成一个大的正方形，通过计算大正方形的面积和内部小正方形的面积来证明$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
【答案】：
(1)拼成的图形是等腰梯形，示意图如图所示（图略，因为无法直接绘制）。
(2)由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积=$ \frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^{2}$。
从上图我们还发现梯形的面积等于三个三角形的面积，即$ \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}$。
两者列等式可得$\frac{1}{2}(a+b)^{2}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}$，
化简：$(a+b)^{2}=ab+ab+c^{2}$，
即：$a^{2}+b^{2}+2ab=2ab+c^{2}$，
可得：$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
(3)假设图14中的直角三角形有若干个，我们还能用其他方法拼得能推出$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的图形，示意图如图所示（图略，可以绘制成一个大正方形，内部包含四个直角三角形和一个小正方形，通过计算面积来证明）。