《2025年聪明屋寒暑假作业系列丛书暑假作业八年级广西专版》

探索神秘的勾股数：满足$a^{2}+b^{2}= c^{2}$的三个正整数,称为勾股数。可以验证：若$a$,$b$,$c$是一组勾股数,则$ka$,$kb$,$kc$($k$为正整数)也是勾股数。以下几种方法都可以产生勾股数：
①设$n$为正整数,且$n＞1$,令$a= 2n$,$b= n^{2}-1$,$c= n^{2}+1$,则有$a^{2}+b^{2}= c^{2}$；
②设$n$为正整数,令$a= 2n+1$,$b= 2n^{2}+2n$,$c= 2n^{2}+2n+1$,则有$a^{2}+b^{2}= c^{2}$；
③设$m$,$n$为正整数,且$m＞n$,令$a= m^{2}-n^{2}$,$b= 2mn$,$c= m^{2}+n^{2}$,则有$a^{2}+b^{2}= c^{2}$；
④设$m$,$n$,$k$为正整数,且$m＞n$,令$a= k(m^{2}-n^{2})$,$b= 2kmn$,$c= k(m^{2}+n^{2})$,则有$a^{2}+b^{2}= c^{2}$。
请通过举例验证熟悉这些勾股数吧！你还有哪些关于产生勾股数的方法？把它写下来。

答案： 验证方法①：
设$n=2$（$n＞1$的正整数），则$a=2×2=4$，$b=2^2 - 1=3$，$c=2^2 + 1=5$。
验证：$4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 = 5^2$，成立。
验证方法②：
设$n=1$（正整数），则$a=2×1 + 1=3$，$b=2×1^2 + 2×1=4$，$c=2×1^2 + 2×1 + 1=5$。
验证：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，成立。
验证方法③：
设$m=3$，$n=1$（$m＞n$的正整数），则$a=3^2 - 1^2=8$，$b=2×3×1=6$，$c=3^2 + 1^2=10$。
验证：$8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 = 10^2$，成立。
验证方法④：
设$m=2$，$n=1$，$k=2$（$m＞n$的正整数，$k$为正整数），则$a=2×(2^2 - 1^2)=6$，$b=2×2×2×1=8$，$c=2×(2^2 + 1^2)=10$。
验证：$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，成立。
其他产生勾股数的方法：
若$a$，$b$，$c$是一组勾股数，且$a ＜ b ＜ c$，则$a$，$b$，$c$的整数倍（如$2a$，$2b$，$2c$）也是勾股数（题目已知性质的直接应用）。