《2025年聪明屋寒暑假作业系列丛书暑假作业八年级广西专版》

2. 在 $□ ABCD$ 中,分别以 $AD$,$BC$ 为边向内作等边 $\triangle ADE$ 和等边 $\triangle BCF$,连接 $BE$,$DF$。求证：四边形 $BEDF$ 是平行四边形。

答案： 由题意先证 DE = BF，AE = CF，∠DAE = ∠BCF = 60°，再由 SAS 证△DCF ≌ △BAE，继而题目得证。

1. 如图 5,在菱形 $ABCD$ 中,点 $F$ 为边 $BC$ 的中点,$DF$ 与对角线 $AC$ 交于点 $M$,过点 $M$ 作 $ME \perp CD$ 于点 $E$,$\angle 1 = \angle 2$。
(1)若 $CE = 1$,求 $BC$ 的长；
(2)求证：$AM = DF + ME$。

答案：

(1)
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴BC = CD，∠1 = ∠DAC = ∠DCA = ∠ACB。
∵∠1 = ∠2，
∴∠2 = ∠DCA，
∴DM = CM。又
∵ME⊥CD，CE = 1，
∴CD = 2CE = 2，
∴BC = CD = 2。
(2) 如下图，延长 AB 和 DF 相交于点 G。
∵点 F 为 BC 的中点，
∴BC = 2CF = 2BF。
∵CD = 2CE，BC = CD，
∴CE = CF。又
∵∠ECM = ∠FCM，CM = CM，
∴△CEM ≌ △CFM，
∴ME = MF。
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB // CD，
∴∠2 = ∠G。又
∵∠DFC = ∠GFB，CF = BF，
∴△DCF ≌ △GBF，
∴DF = GF。
∵∠2 = ∠G，∠1 = ∠2，
∴∠1 = ∠G，
∴AM = MG。
∵MG = GF + MF，DF = GF，ME = MF，
∴AM = DF + ME。