《2025年聪明屋寒暑假作业系列丛书暑假作业八年级广西专版》

2. 如图 6,在矩形 $ABCD$ 中,对角线 $BD$ 的垂直平分线 $MN$ 与 $AD$ 相交于点 $M$,与 $BD$ 相交于点 $O$,与 $BC$ 相交于点 $N$,连接 $BM$,$DN$。
(1)求证：四边形 $BMDN$ 是菱形；
(2)若 $AB = 4$,$AD = 8$,求 $MD$ 的长。

答案：
(1)
∵MN 是 BD 的垂直平分线，
∴BO = DO，∠BON = ∠DOM = 90°。
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD // BC，
∴∠BNO = ∠DMO，
∴△BON ≌ △DOM(AAS)，
∴OM = ON。
∵OB = OD，
∴四边形 BMDN 是平行四边形。
∵MN⊥BD，
∴□BMDN 是菱形。
(2) 设 MD = x，则 MB = x，MA = 8 - x，在 Rt△ABM 中，
∵BM² = AM² + AB²，
∴x² = (8 - x)² + 4²，解得 x = 5。
∴MD 的长为 5。

李村有一个呈四边形的池塘,如图 7 所示,在它的四个顶点 $A$,$B$,$C$,$D$ 处各有一棵大树。李村准备开挖池塘改建成养鱼池。要使鱼池的面积扩大一倍又想保持四棵大树不动,并要求扩建后的鱼池成平行四边形形状。请问,李村能否实现这一设想？若能,请你设计方案并画图；若不能,请说明理由。

答案： 能。连接 AC，BD，过 A，C 作 BD 的平行线，过 B，D 作 AC 的平行线，四线相交形成一个平行四边形。