《2025年聪明屋寒暑假作业系列丛书暑假作业八年级广西专版》

3. 下面给出了四边形 $ABCD$ 中 $\angle A$,$\angle B$,$\angle C$,$\angle D$ 的度数之比,其中能判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形的是( )。

A.$1:2:3:4$
B.$2:2:3:3$
C.$2:3:2:3$
D.$2:3:3:2$

答案： C

4. 用两个全等的三角形按不同的方法拼成四边形,在这些拼出的四边形中,平行四边形最多有( )。

A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个

答案： C

5. 如图 1,在平行四边形 $ABCD$ 中,$EF // AD$,$GH // AB$,$EF$,$GH$ 相交于点 $O$,则图中共有 个平行四边形。

答案： 9

6. 如图 2,已知 $O$ 为平行四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 的中点,$EF$ 经过点 $O$,且与 $AB$ 交于 $E$,与 $CD$ 交于 $F$。求证：四边形 $AECF$ 是平行四边形。

答案： 【解析】：本题主要考查平行四边形的判定定理，即对角线互相平分的四边形是平行四边形。为了证明四边形$AECF$是平行四边形，我们可以按照以下步骤进行推导：
第一步，根据题目已知，$O$是$AC$的中点，所以$OA=OC$。
第二步，由于$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质，我们知道$AB// CD$，所以$\angle CFO = \angle AEO$（内错角相等）。同时，由于$O$是$AC$的中点，$\angle COF = \angle AOE$（对顶角相等）。
第三步，根据三角形的全等定理，由于$OA = OC$，$\angle CFO = \angle AEO$，$\angle COF = \angle AOE$，所以$\triangle AOE \cong \triangle COF$（AAS）。
第四步，由于$\triangle AOE \cong \triangle COF$，根据全等三角形的对应边相等，我们得到$AE = CF$，$OE=OF$。
第五步，由于$AE = CF$，$OE = OF$，且$OA = OC$，根据平行四边形的判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形），我们可以得出四边形$AECF$是平行四边形。
【答案】：证明：
$\because O$是$AC$的中点，
$\therefore OA = OC$。
$\because AB// CD$，
$\therefore \angle CFO = \angle AEO$，$\angle COF = \angle AOE$。
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，
$\left\{\begin{matrix}OA = OC,\\\angle CFO = \angle AEO,\\\angle COF = \angle AOE.\end{matrix}\right.$
$\therefore \triangle AOE \cong \triangle COF$（AAS）。
$\therefore AE = CF$，$OE = OF$。
$\because OE = OF$，$OA = OC$，
根据平行四边形的判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
$\therefore$四边形$AECF$是平行四边形。

1. 如图 3,已知 $D$ 是 $\triangle ABC$ 的边 $AB$ 上一点,$CE // AB$,$DE$ 交 $AC$ 于点 $O$,且 $OA = OC$,猜想线段 $CD$ 与线段 $AE$ 的大小关系和位置关系,并加以证明。

答案： CD = AE，且 CD // AE。根据 CE // AB，DE 交 AC 于点 O，且 OA = OC，可证△ADO ≌ △CEO，然后求证四边形 ADCE 是平行四边形，即可得出结论。