《2025年春如金卷课时作业AB本八年级数学上册北师大版》

5. 下列生活或生产现象中，可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（B）
A. 用两个钉子就可以把木条固定在墙上
B. 把弯曲的公路改直，就能缩短路程
C. 植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
D. 以上说法都不能用此公理解释

答案： B

6. 如图，已知$ON⊥l$，$OM⊥l$，所以OM与ON重合，这个推理的根据是（D）

A. 过一点只能作一条垂线
B. 过两点只能作一条垂线
C. 垂线段最短
D. 经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线

答案： D

7. 下列命题为真命题的是（A）
A. 两点之间线段最短
B. 三角形的一个外角大于任何一个内角
C. 两直线平行，同旁内角相等
D. 两边及一角分别相等的两个三角形一定全等

答案： A

条件为：①②④(填序号)。
结论为：③(填序号)。
证明:∵AD//BC,
∴∠A=∠C,
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE,
在△AFD和△CEB中，$\left\{\begin{array}{l} AD=CB,\\ ∠A=∠C,\\ AF=CE,\end{array}\right. $
∴△AFD≌△CEB(SAS),
∴DF=BE。

答案： 解:条件为:①②④，结论为:③;(答案不唯一)
　证明:
∵AD//BC,
∴∠A=∠C,
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE,
　在△AFD和△CEB中，$\left\{\begin{array}{l} AD=CB,\\ ∠A=∠C,\\ AF=CE,\end{array}\right. $
∴△AFD≌△CEB(SAS),
∴DF=BE。

9. 【考试新趋势·阅读探究题】如图，在$Rt\triangle ABC$中，$∠B=90^{\circ}$，AD平分$∠BAC$。小明想利用三角形全等的知识，推导出$\triangle ABD$和$\triangle ACD$面积的比值与AB，AC两边比值的关系。他的思路是：过点D作AC的垂线，垂足为点H，再根据三角形全等来证明$\triangle ABD$和$\triangle ACD$的高相等，进一步得到$\triangle ABD$和$\triangle ACD$的面积之比等于$∠BAC$的两邻边边长之比。请根据小明的思路完成以下作图与填空：
（1）用直尺和圆规，过点D作AC的垂线，垂足为点H(只保留作图痕迹)。
（2）证明：$\because DH⊥AC$，
$\therefore ∠AHD=90^{\circ}=∠B$。
$\because AD$平分$∠BAC$，
$\therefore$ ①______________。
在$\triangle ABD$和$\triangle AHD$中，
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle B = \angle A H D , } \\ { \angle B A D = \angle H A D , } \\ { ② \underline { \quad \quad \quad \quad } , } \end{array} \right.$
$\therefore \triangle ABD\cong \triangle AHD(AAS)$。
$\therefore$ ③______________。
$\because S_{\triangle ABD}=\frac {1}{2}AB\cdot BD$，
$S_{\triangle ACD}=\frac {1}{2}AC\cdot DH$，
$\therefore \frac {S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac {AB}{AC}$。
小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论。请你依照题意完成下面命题：
如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么④________________________。

答案：
解:
(1)如图，直线DH为所作垂段;
(2)∠BAD=∠HAD　AD=AD
　BD=HD　这两个三角形的面积之比,等于这个内角的两条邻边边长之比