《2025年春如金卷课时作业AB本八年级数学上册北师大版》

18. 计算：
（1）$3\sqrt {2}-7\sqrt {12}-4\sqrt {\frac {1}{2}}$；
（2）$(\sqrt {5}-\sqrt {2})(\sqrt {5}+\sqrt {2})+(\sqrt {3}-1)^{2}$；
（3）$\sqrt {12}-3×\sqrt {\frac {1}{3}}+\sqrt [3]{-8}-(π+1)^{0}×(\frac {1}{\sqrt {3}})^{-1}$；
（4）$2\sqrt {12}×\frac {\sqrt {3}}{4}÷5\sqrt {2}$。

答案： 解：
(1)原式$=3\sqrt{2}-7× 2\sqrt{3}-4× \frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}-14\sqrt{3}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}-14\sqrt{3}$。
(2)原式$=5-2+3-2\sqrt{3}+1=7-2\sqrt{3}$。
(3)原式$=2\sqrt{3}-3× \frac{\sqrt{3}}{3}+(-2)-1× \sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}-2-\sqrt{3}=-2$。
(4)原式$=(2× \frac{1}{4}÷ 5)× \sqrt{12× 3÷ 2}=\frac{1}{10}× 3\sqrt{2}=\frac{3}{10}\sqrt{2}$。

19. 已知$\sqrt {6}$的小数部分是a，$\sqrt {24}$的整数部分是b，求$\frac {a+b}{2}-a$的值。

答案： 解：因为$2＜\sqrt{6}＜3$，
所以$\sqrt{6}$的小数部分$a=\sqrt{6}-2$。
因为$4＜\sqrt{24}＜5$，
所以$\sqrt{24}$的整数部分$b=4$，
所以$\frac{a+b}{2}-a=\frac{\sqrt{6}-2+4}{2}-(\sqrt{6}-2)=\frac{\sqrt{6}}{2}+1-\sqrt{6}+2=3-\frac{\sqrt{6}}{2}$。

20. 小明学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如$3+2\sqrt {2}=(1+\sqrt {2})^{2}$，善于思考的小明进行了以下探索：设$a+b\sqrt {2}=(m+n\sqrt {2})^{2}$（a，b，m，n均为整数），则有$a+b\sqrt {2}=m^{2}+2n^{2}+2\sqrt {2}mn$，所以$a=m^{2}+2n^{2}$，$b=2mn$，这样小明就找到了一种把$a+b\sqrt {2}$的式子完全式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决以下问题：
（1）当a，b，m，n均为整数时，若$a+b\sqrt {3}=(m+n\sqrt {3})^{2}$，用含m，n的式子表示a，b，得：$a=$$m^{2}+3n^{2}$，$b=$$2mn$；
（2）若$a+4\sqrt {3}=(m+2\sqrt {3})^{2}$，求m，a的值；
（3）根据以上规律，则$6+4\sqrt {2}=$（ $2+\sqrt{2}$）$^{2}$（写一个即可）。

答案：
(1)$m^{2}+3n^{2}$，$2mn$ 【解析】因为$a+b\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^{2}$，
所以$a+b\sqrt{3}=m^{2}+3n^{2}+2\sqrt{3}mn$，
所以$a=m^{2}+3n^{2}$，$b=2mn$；
(2)解：因为$a+4\sqrt{3}=(m+2\sqrt{3})^{2}$，
所以$a+4\sqrt{3}=m^{2}+12+4\sqrt{3}m$，
所以$a=m^{2}+12$，$4m=4$，
所以$m=1$，$a=13$；
(3)$2+\sqrt{2}$或$-2-\sqrt{2}$ 【解析】设$6+4\sqrt{2}=(m+n\sqrt{2})^{2}$，且$m$，$n$为正整数，
所以$6+4\sqrt{2}=m^{2}+2n^{2}+2\sqrt{2}mn$，
所以$6=m^{2}+2n^{2}$，$4=2mn$，
所以解得$m=2$，$n=1$或$m=-2$，$n=-1$，
所以$6+4\sqrt{2}=(2+\sqrt{2})^{2}$或$6+4\sqrt{2}=(-2-\sqrt{2})^{2}$。