《2025年春如金卷课时作业AB本八年级数学上册北师大版》

3. 甲、乙两人同时从A,B两地相向而行,他们满足以下条件:
条件一:甲的速度比乙的速度快2km/h；
条件二:两人出发3h后,还相距10km；
条件三:两人出发4h后,两人相遇后又相距20km。
求A,B两地的距离以及甲、乙两人的速度分别是多少。

答案： 解:设乙的速度是 $ x \text{ km/h} $,则甲的速度是 $ (x + 2) \text{ km/h} $。
根据两人出发 3 h 后,还相距 10 km,可得 A,B 两地距离为 $ 3(x + x + 2) + 10 \text{ km} $。
根据两人出发 4 h 后,两人相遇后又相距 20 km,可得 A,B 两地距离为 $ 4(x + x + 2) - 20 \text{ km} $。
因为 A,B 两地距离不变,所以 $ 3(x + x + 2) + 10 = 4(x + x + 2) - 20 $ 解得 $ x = 14 $。
则乙的速度是 $ 14 \text{ km/h} $,甲的速度是 $ 14 + 2 = 16 \text{ km/h} $。
所以 A,B 两地的距离为 $ 4 × (14 + 16) - 20 = 100(\text{km}) $。

4. 老师给学生分糖果,满足以下条件:
条件一:如果每人分5颗糖果,那么还剩下10颗糖果；
条件二:如果每人分7颗糖果,那么有一个学生分到的糖果不足7颗,但多于1颗；
条件三:学生人数是大于3的整数。
求学生的人数和糖果的总数各是多少。

答案： 解:设学生有 $ a $ 人,每人分 7 颗最后一人得到 $ b $ 颗。
所以 $ 5a + 10 = 7(a - 1) + b $,
$ 5a + 10 = 7a - 7 + b $,
$ 2a = 17 - b $,
$ a = \frac{17 - b}{2} $,
因为 $ a,b $ 都为整数,$ a ＞ 3 $,$ 1 ＜ b ＜ 7 $,
所以当 $ a = 4 $ 时,$ b = 9 $,舍去;
当 $ a = 5 $ 时,$ b = 7 $,舍去;
当 $ a = 6 $ 时,$ b = 5 $,糖果总数:$ 5 × 6 + 10 = 40 $(颗);
当 $ a = 7 $ 时,$ b = 3 $,糖果总数:$ 5 × 7 + 10 = 45 $(颗);
当 $ a = 8 $ 时,$ b = 1 $,舍去;
所以学生人数为 6 人或 7 人,糖果总数为 40 颗或 45 颗。

5. 一个长方体的长、宽、高都是整数厘米,它的体积是$90cm^{3}$,那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米?

答案： 解:先对 90 分解质因数,$ 90 = 2 × 3 × 3 × 5 $。
长方体体积 $ V = \text{长} × \text{宽} × \text{高} = 90 $,要使长、宽、高的和最小,尽量让三个数的差最小。
对 90 的因数进行组合,可得 $ 90 = 3 × 5 × 6 $ 时,长、宽、高的和最小。
最小值为 $ 3 + 5 + 6 = 14 $。

6. 找出满足以下条件的四位数:
(1)千位数字是质数(2,3,5,7)；
(2)百位数字比千位数字大1；
(3)十位数字是千位和百位数字之和的个位；
(4)个位数字是偶数；
(5)各位数字之和为20；
(6)尽可能小。

答案： 设四位数为 $ ABCD $,根据条件:
当 $ A = 2 $ 时:$ B = 3 $,$ C = 5 $,总和 $ A + B + C = 10 $,故 $ D = 10 $(无效)。
当 $ A = 3 $ 时:$ B = 4 $,$ C = 7 $,总和 $ A + B + C = 14 $,故 $ D = 6 $。四位数为 3 476,满足所有条件。
当 $ A = 5 $ 时:$ B = 6 $,$ C = 1 $,总和 $ A + B + C = 12 $,故 $ D = 8 $。四位数为 5 618,比 3476 大。
当 $ A = 7 $ 时:$ B = 8 $,$ C = 5 $,总和 $ A + B + C = 20 $,故 $ D = 0 $。四位数为 7 850,比 3 476 大。
所以最小候选数为 3 476。