《2025年春如金卷课时作业AB本八年级数学上册北师大版》

12. 如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB = AC$,$BC = 20cm$,$D$是边$AB$上一点,且$CD = 16cm,BD = 12cm$。
(1)求$AD$的长;
(2)求$\triangle ABC$中$BC$边上的高。

答案：
解:
(1)因为BC = 20cm，且CD = 16cm，BD = 12cm，所以BD² + CD² = BC²，所以∠BDC = 90°，所以∠ADC = 90°。设AD = xcm，则AC = AB = (x + 12)cm。在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD² + CD² = AC²，即x² + 16² = (x + 12)²，解得：x = $\frac{14}{3}$，即AD = $\frac{14}{3}$cm。
(2)AB = AC = $\frac{14}{3}$ + 12 = $\frac{50}{3}$(cm)，过A作AE⊥BC，垂足为点E，则AE是△ABC的高。因为AB = AC，BC = 20cm，所以BE = CE = 10(cm)。在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE² = AB² - BE² = ($\frac{50}{3}$)² - 10² = $\frac{1600}{9}$，所以AE = $\frac{40}{3}$(cm)，即△ABC中BC边上的高是$\frac{40}{3}$cm。

13. 已知,在$\triangle ABC$中,$AB = n^{2}-1,BC = 2n,AC = n^{2}+1$($n$为大于1的正整数),判断$\triangle ABC$是直角三角形吗? 若是,哪条边所对的角是直角? 请说明理由。

答案： 解:△ABC是直角三角形，理由是：因为在△ABC中，AB = n² - 1，BC = 2n，AC = n² + 1(n＞1)，所以AB² + BC² = (n² - 1)² + (2n)² = n⁴ - 2n² + 1 + 4n² = (n² + 1)² = AC²，即AB² + BC² = AC²，所以这个三角形是直角三角形，边AC所对的角是直角。

14. 【问题背景】
著名的赵爽弦图(如图1,其中四个直角三角形较大的直角边长都为$a$,较小的直角边长都为$b$,斜边长都为$c$,大正方形的面积可以表示为$c^{2}$,也可以表示为$4×\frac{1}{2}ab+(a - b)^{2}$,由此推导出重要的勾股定理:如果直角三角形两条直角边长为$a,b$,斜边长为$c$,则$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。

【探索求证】
(1)古今中外,勾股定理有很多证证明方法,如图2,$Rt\triangle ADE$与$Rt\triangle EBC$按如图所示位置放置,连接$CD$,其中$∠A = ∠B = ∠DEC = 90^{\circ}$,请你利用图2推导勾股定理。
【问题解决】
(2)如图3,在一条东西走向河流的一侧有一村庄$C$,河边原有两个取水点$A,B$,其中$AB = AC$,由于某种原因,由$C$到$A$的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点$H$($A,H,B$在同一条直线上),并新修一条路$CH$,且$CH⊥AB$。测得$CH = 2.4km,HB = 1.8km$,求新路$CH$比原路$CA$少多少千米?
【延伸扩展】
(3)若第(2)问中,$AB≠AC,CH⊥AB,AC = 5,BC = 6,AB = 7$,设$AH = x$,求$x$的值。

答案： 解:
(1)S梯形ABCD = $\frac{1}{2}$(a + b)(a + b) = $\frac{1}{2}$a² + ab + $\frac{1}{2}$b²，S梯形ABCD = S△ADE + S△CBE + S△CDE = $\frac{1}{2}$ab + $\frac{1}{2}$ab + $\frac{1}{2}$c²，所以$\frac{1}{2}$ab + $\frac{1}{2}$ab + $\frac{1}{2}$c² = $\frac{1}{2}$a² + ab + $\frac{1}{2}$b²，即a² + b² = c²。
(2)设AC = AB = xkm，则AH = (x - 1.8)km，在Rt△ACH中，由勾股定理得x² = 2.4² + (x - 1.8)²，解得x = 2.5，即CA = 2.5km，所以CA - CH = 0.1(km)，所以新路CH比原路CA少0.1km。
(3)设AH = x，则BH = 7 - x，在Rt△ACH中，由勾股定理得CH² = CA² - AH²，在Rt△BCH中，由勾股定理得CH² = CB² - BH²，所以5² - x² = 6² - (7 - x)²，解得：x = $\frac{19}{7}$。