《2025年通城学典活页检测九年级数学下册北师大版》

8. (14分)计算：
(1) 6tan²30° - cos 30°×tan 60° - 2sin 45° + cos 60°；
(2) 3tan 30° - $\frac{1}{\cos 60°}$ + $\sqrt{8}$cos 45° + $\sqrt{(1 - \tan 60°)^2}$.

答案：
(1)原式$=6\times(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\times\sqrt{3}-2\times\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}=2 - \frac{3}{2}-\sqrt{2}+\frac{1}{2}=1-\sqrt{2}$
(2)原式$=3\times\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{\frac{1}{2}}+\sqrt{8}\times\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{(1 - \sqrt{3})^{2}}=\sqrt{3}-2 + 2+\sqrt{3}-1=2\sqrt{3}-1$

9. (14分)数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的较长的直角边相等. 于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺的直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一条直线上，若BC＝2，求AF的长. 请你运用所学的数学知识解决该问题.
　　　　　

答案： 在$Rt\triangle ABC$中，$\because BC = 2,\angle A = 30^{\circ},\therefore AC=\frac{BC}{\tan A}=2\sqrt{3}$.$\therefore EF = AC = 2\sqrt{3}$. 在$Rt\triangle CEF$中，$\because\angle E = 45^{\circ},\therefore FC = EF\cdot\sin E=\sqrt{6}$.$\therefore AF = AC - FC=2\sqrt{3}-\sqrt{6}$ 

10. (16分)(盘锦中考)如图，小欢从公共汽车站A出发，沿北偏东30°方向走2 000 m到达东湖公园B处，参观后又从B处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车站A东南方向的图书馆C处(参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732).
(1) 求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离；
(2) 若小欢以100 m/min的速度从图书馆C沿CA回到公共汽车站A，那么她在15 min内能否到达公共汽车站?
　　　

答案：
(1)过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$.$\because$点$B$在点$A$的北偏东$30^{\circ}$方向上，点$C$在点$B$的正南方向上，$\therefore\angle B = 30^{\circ}$.$\because AB = 2000\ m$，$\therefore AD=\frac{1}{2}AB = 1000\ m$.$\therefore$小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离是$1000\ m$  
(2)在$Rt\triangle ADC$中，$\because\angle DAC = 45^{\circ},AD = 1000\ m$，$\therefore AC=\frac{AD}{\cos 45^{\circ}}=1000\sqrt{2}\ m\approx1414\ m$.$\because 1414＜15\times100$，$\therefore$小欢在$15\ min$内能到达公共汽车站