《2025年通城学典活页检测九年级数学下册北师大版》

8. (14分)如图，在□ABCD中，以点A为圆心，AB为半径的圆分别交AD，BC于点F，G，延长BA交⊙A于点E. 求证：$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$.
　　　　　

答案： 连接AG.
∵AB = AG，
∴∠ABG = ∠AGB.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC.
∴∠AGB = ∠DAG，∠EAD = ∠ABG.
∴∠EAD = ∠DAG.
∴$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$

9. (14分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB.
(1) 试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2) 若AB＝$\sqrt{2}$，AD＝1，求CD的长度.
　　　　　　　　

答案：
(1) △ABC是等腰直角三角形 理由：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC = ∠ABC = 90°.
∵∠ADB = ∠CDB，∠ADB = ∠ACB，∠CDB = ∠CAB，
∴∠ACB = ∠CAB.
∴AB = BC.
∴△ABC是等腰直角三角形  
(2) 在Rt△ABC中，
∵AB = BC = $\sqrt{2}$，
∴由勾股定理，得AC = $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}$ = 2. 在Rt△ADC中，由勾股定理，得CD = $\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$

10. (16分)已知锐角∠POQ，如图，在射线OP上取一点A，以点O为圆心，OA为半径作$\overset{\frown}{MN}$，交射线OQ于点B，连接AB，分别以点A，B为圆心，AB为半径作弧，交$\overset{\frown}{MN}$于点E，F，连接OE，AE，EF.
(1) 求证：∠EAO＝∠BAO；
(2) 若OE＝EF，求∠POQ的度数.
　　　　　　　

答案：

(1) 由题意，得OB = OE = OA，AE = AB.
∴∠EAO = ∠AEO，∠BAO = ∠ABO，$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AB}$.
∴∠AOE = ∠AOB.
∵∠AOE + ∠EAO + ∠AEO = ∠AOB + ∠BAO + ∠ABO = 180°，
∴∠EAO = ∠BAO
(2) 如图，连接OF，BF.
∵OE = OF，OE = EF，
∴OE = OF = EF.
∴△EOF是等边三角形.
∴∠EOF = 60°.
∵AE = BF = AB，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{AB}$.
∴∠AOE = ∠BOF = ∠AOB.
∴∠POQ = $\frac{1}{3}$∠EOF = 20°