《2025年通城学典活页检测九年级数学下册北师大版》

8. (12分)如图，在⊙O中，$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，AD⊥OC于点D. 求证：AB=2AD.
　　

答案：
如图，延长AD交⊙O于点E.
∵OC⊥AD，
∴ $\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$，AE = 2AD.
∵ $\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$.
∴AB = AE.
∴AB = 2AD.

9. (12分)如图，P为⊙O内的一点.
(1) 过点P是否存在一条弦AB，使P为AB的中点？如果存在，请作出弦AB.
(2) 在(1)的条件下，若⊙O的直径为16 cm，OP=4 cm，求弦AB的长.
　　　　

答案：

(1) 存在 如图，连接OP并延长，交⊙O于点C，过点P作AB⊥CO交⊙O于点A，B，则AB即为所求
(2) 如图，连接OA. 由题意，得OA = $\frac{1}{2}$×16 = 8(cm)，OP = 4 cm. 在Rt△AOP中，由勾股定理，得AP = $\sqrt{OA^{2}-OP^{2}}$ = $\sqrt{8^{2}-4^{2}}$ = 4$\sqrt{3}$(cm).
∴AB = 2AP = 8$\sqrt{3}$ cm

10. (14分)如图所示为一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB=18分米，C为AB的中点，D为拱门的最高点，圆心O在线段CD上，CD=27分米，求拱门所在圆的半径.
　　　

答案： 连接AO.
∵CD过圆心，C为AB的中点，
∴CD⊥AB.
∵AB = 18分米，C为AB的中点，
∴AC = BC = 9分米. 设⊙O的半径为x分米，则OA = OD = x分米，OC = CD - OD = (27 - x)分米. 在Rt△OAC中，由勾股定理，得AC² + OC² = OA²，即9² + (27 - x)² = x²，解得x = 15.
∴拱门所在圆的半径是15分米