《2025年通城学典活页检测九年级数学下册北师大版》

11. (12分)已知一个等腰直角三角形的斜边长为2x cm，其面积为y cm².
(1)求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；
(2)列出当x=$\frac{1}{2}$，1，$\frac{3}{2}$，2，$\frac{5}{2}$，3时，y与x的对应值表；
(3)画出y关于x的函数图象.

答案：

(1)
∵等腰直角三角形的斜边长为2xcm，
∴直角边长为2x·sin45°=$\sqrt{2}$x(cm).
∴y = $\frac{1}{2}$×($\sqrt{2}$x)² = x²(x ＞ 0)
(2) 列表如下：

(3) 如图所示
　　　　　　　　　

12. (14分)如图，P是抛物线y=x²上的一点，且在第一象限，点A的坐标是(3，0). 设点P的坐标为(x,y).
(1)求△OPA的面积S关于变量y的函数表达式.
(2)S是x的什么函数？
(3)当S=6时，求点P的坐标.
(4)在y=x²的图象上找一点P'，使△OP'A是以OA为底边的等腰三角形.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1) 由题意，得S = $\frac{1}{2}$×3y = $\frac{3}{2}$y(y ＞ 0)
(2)
∵ y = x²，
∴ S = $\frac{3}{2}$x²(x ＞ 0).
∴ S是x的二次函数
(3)
∵ S = 6，
∴$\begin{cases}6 = \frac{3}{2}y,\\6 = \frac{3}{2}x^{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}y = 4,\\x_{1} = 2,x_{2} = - 2.\end{cases}$
∵ x ＞ 0，y ＞ 0，
∴$\begin{cases}y = 4,\\x = 2.\end{cases}$
∴点P的坐标为(2,4)
(4) 由题意，可知OP' = P'A.
∴点P'在OA的垂直平分线上.
∴点P'的横坐标为$\frac{0 + 3}{2} = \frac{3}{2}$.当x = $\frac{3}{2}$时，y = x² = $\frac{9}{4}$.
∴点P'的坐标为($\frac{3}{2}$,$\frac{9}{4}$)