《2025年通城学典活页检测九年级数学下册北师大版》

11. (12分)已知抛物线$y=a(x - 3)^2 + 2$经过点$(1,-2)$.
(1)求$a$的值；
(2)若点$A(m,y_1)$，$B(n,y_2)$($m ＜ n ＜ 3$)都在该抛物线上，试比较$y_1$与$y_2$的大小.

答案：
(1) 由题意，得$a\cdot(1 - 3)^2 + 2 = - 2$，解得$a = - 1$
(2) 由
(1)，得$a ＜ 0$，
∴抛物线的开口向下.
∴当$x ＜ 3$时，$y$随$x$的增大而增大. $\because m ＜ n ＜ 3$，$\therefore y_1 ＜ y_2$

12. (14分)如图，抛物线$y=a(x - 1)^2 + 4$与$x$轴交于点$A$，$B$，与$y$轴交于点$C$，过点$C$作$CD// x$轴，交抛物线的对称轴于点$D$，连接$BD$，已知点$A$的坐标为$(-1,0)$. 求：
(1)该抛物线对应的函数表达式；
(2)梯形$COBD$的面积.
　　　　

答案：
(1) 把点$A$的坐标$(-1,0)$代入$y = a(x - 1)^2 + 4$，得$a\cdot(-1 - 1)^2 + 4 = 0$，解得$a = - 1$.
∴该抛物线对应的函数表达式为$y = -(x - 1)^2 + 4$
(2) 令$x = 0$，则$y = 3$.
∴$OC = 3$.
∵抛物线$y = -(x - 1)^2 + 4$的对称轴是直线$x = 1$，
∴$CD = 1$.
∵点$A$的坐标为$(-1,0)$，点$A$，$B$关于直线$x = 1$对称，
∴点$B$的坐标为$(3,0)$.
∴$OB = 3$.
∴$S_{梯形COBD}=\frac{(1 + 3)\times3}{2}=6$