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2025年通城学典活页检测九年级数学下册北师大版
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8. (14分)(台州中考)如图①，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图②. 梯子与地面所成的角α = 75°，梯子AB长3 m，求梯子顶部离地面的竖直高度BC(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73).
答案：
在 Rt△ABC 中，
∵ AB = 3 m，∠BAC = 75°，
∴ sin∠BAC = sin 75° = $\frac{BC}{AB}$ ≈ 0.97.
∴ BC ≈ 2.9 m.
∴ 梯子顶部离地面的竖直高度 BC 约为 2.9 m
∵ AB = 3 m，∠BAC = 75°，
∴ sin∠BAC = sin 75° = $\frac{BC}{AB}$ ≈ 0.97.
∴ BC ≈ 2.9 m.
∴ 梯子顶部离地面的竖直高度 BC 约为 2.9 m
9. (15分)如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，点D在边AC上. 若∠BDC = 45°，BD = 10$\sqrt{2}$，AB = 20，求∠A的度数.
答案：
在 Rt△BCD 中，
∵ ∠BDC = 45°，BD = 10$\sqrt{2}$，
∴ BC = BD · sin∠BDC = 10$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 10. 在 Rt△ABC 中，
∵ AB = 20，
∴ sin A = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{10}{20}$ = $\frac{1}{2}$.
∴ ∠A = 30°
∵ ∠BDC = 45°，BD = 10$\sqrt{2}$，
∴ BC = BD · sin∠BDC = 10$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 10. 在 Rt△ABC 中，
∵ AB = 20，
∴ sin A = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{10}{20}$ = $\frac{1}{2}$.
∴ ∠A = 30°
10. (15分)如图，为测量景区中一座雕像AB的高度，某数学兴趣小组在D处用测角仪CD测得雕像顶部A的仰角为30°，测得底部B的俯角为10°. 已知测角仪CD与水平地面垂直且高度为1米，求雕像AB的高(用非特殊角的三角函数值及根式表示即可).
答案：
如图，过点 C 作 CE⊥AB，垂足为 E，则易得 CE//BD，故 CD = BE = 1 米. 在 Rt△CBE 中，
∵ ∠BCE = 10°，
∴ CE = $\frac{BE}{tan10^{\circ}}$ = $\frac{1}{tan10^{\circ}}$米. 在 Rt△ACE 中，
∵ ∠ACE = 30°，
∴ AE = CE · tan 30° = $\frac{1}{tan10^{\circ}}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3tan10^{\circ}}$(米).
∴ AB = AE + BE = $(1 + \frac{\sqrt{3}}{3tan10^{\circ}})$米，即雕像 AB 的高为$(1 + \frac{\sqrt{3}}{3tan10^{\circ}})$米
如图，过点 C 作 CE⊥AB，垂足为 E，则易得 CE//BD，故 CD = BE = 1 米. 在 Rt△CBE 中，
∵ ∠BCE = 10°，
∴ CE = $\frac{BE}{tan10^{\circ}}$ = $\frac{1}{tan10^{\circ}}$米. 在 Rt△ACE 中，
∵ ∠ACE = 30°，
∴ AE = CE · tan 30° = $\frac{1}{tan10^{\circ}}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3tan10^{\circ}}$(米).
∴ AB = AE + BE = $(1 + \frac{\sqrt{3}}{3tan10^{\circ}})$米，即雕像 AB 的高为$(1 + \frac{\sqrt{3}}{3tan10^{\circ}})$米
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