《2025年通城学典活页检测九年级数学下册北师大版》

10.(10分)已知点$A(a,7)$在抛物线$y = x^{2}+4x + 10$上. 求：
(1) 点$A$的坐标；
(2) 抛物线的对称轴和顶点坐标.

答案：
(1)
∵点A(a,7)在抛物线y = x²+4x + 10上，
∴a²+4a + 10 = 7，解得a₁=-1，a₂=-3。
∴点A的坐标为(-1,7)或(-3,7)
(2)
∵y = x²+4x + 10=(x + 2)²+6，
∴抛物线的对称轴是直线x = -2，顶点坐标为(-2,6)

11.(12分)如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线. 如果不考虑空气阻力，那么小球的飞行高度$y(\text{m})$与飞行时间$x(\text{s})$之间满足函数关系$y = - 5x^{2}+20x$.
(1) 在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是多少?
(2) 小球从飞出到落地所用的时间是多少?
(3) 在飞行过程中，小球的飞行高度何时最大? 最大高度是多少?

答案：
(1) 当y = 15时，15=-5x²+20x，解得x₁=1，x₂=3。
∴在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是1 s或3 s
(2) 当y = 0时，0=-5x²+20x，解得x₁=0，x₂=4。
∴小球从飞出到落地所用的时间是4 s
(3)
∵y=-5x²+20x=-5(x - 2)²+20，
∴当x = 2时，y取得最大值，此时y = 20。
∴在飞行过程中，当飞行时间为2 s时，小球的飞行高度最大，最大高度是20 m

12.(16分)把抛物线$C_{1}:y = x^{2}+2x + 3$先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线$C_{2}$.
(1) 写出抛物线$C_{2}$对应的函数表达式.
(2) 动点$P(a,-6)$能否在抛物线$C_{2}$上? 请说明理由.
(3) 若点$A(m,y_{1}),B(n,y_{2})$都在抛物线$C_{2}$上，且$m ＜ n ＜ 0$，试比较$y_{1}$与$y_{2}$的大小.

答案：
(1)
∵y = x²+2x + 3=(x + 1)²+2，
∴把抛物线C₁:y = x²+2x + 3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线C₂:y=(x + 1 - 4)²+2 - 5，即y=(x - 3)²-3。
∴抛物线C₂对应的函数表达式为y=(x - 3)²-3  
(2) 动点P(a,-6)不能在抛物线C₂上 理由：
∵抛物线C₂对应的函数表达式为y=(x - 3)²-3，
∴函数的最小值为-3。
∵-6 ＜ -3，
∴动点P(a,-6)不能在抛物线C₂上  
(3)
∵抛物线C₂:y=(x - 3)²-3的开口向上，对称轴为直线x = 3，
∴当x ＜ 3时，y随x的增大而减小。
∵点A(m,y₁)，B(n,y₂)都在抛物线C₂上，且m ＜ n ＜ 0 ＜ 3，
∴y₁＞y₂