《2025年通城学典活页检测九年级数学下册北师大版》

8. (12分)(怀化中考)如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB = CD. 求证：
(1) AC = BD；
(2) △ABE∽△DCE.
　　　　　　　　　　

答案：

(1)
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BC}$，即 $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $AC = BD$
(2)
∵ $\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle C$，
∴ $\triangle ABE\sim\triangle DCE$

9. (12分)如图，在⊙O中，AB = BC = CD，OC与AD相交于点E，连接BC，BE，CD. 求证：
(1) AD//BC；
(2) 四边形BCDE是菱形.
　　　　　　　

答案：

(1) 如图，连接 $BD$。
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $\angle ADB=\angle CBD$，
∴ $AD// BC$
(2) 如图，连接 $OB$，$OD$，设 $OC$ 与 $BD$ 相交于点 $F$。
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $BC = CD$。又
∵ $OB = OD$，
∴ $OC\perp BD$，$DF = BF$。由
(1)知，$\angle EDF=\angle CBF$。又 $\angle DFE=\angle BFC$，
∴ $\triangle DEF\cong\triangle BCF$，
∴ $DE = BC$，
∴ 四边形 $BCDE$ 是平行四边形。又
∵ $EC\perp BD$，
∴ 四边形 $BCDE$ 是菱形

10. (14分)如图，C，D为⊙O上的两点，且在直径AB的两侧，连接CD交AB于点E，G是AC上的一点，∠ADC = ∠G.
(1) 求证：∠1 = ∠2.
(2) 点C关于DG的对称点为F，连接CF. 当点F落在直径AB上时，CF = 10，tan∠1 = 2/5，求⊙O的半径.
　　　　　　

答案：

(1) 如图，连接 $AC$。
∵ $\angle G=\angle ACD$，$\angle ADC=\angle G$，
∴ $\angle ACD=\angle ADC$，
∴ $AC = AD$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$。
∵ $AB$ 为 $\odot O$ 的直径，
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $\angle 1=\angle 2$
(2) 如图，连接 $OC$，$OD$，$DF$。
∵ $AC = AD$，$OC = OD$，
∴ $AB\perp CD$，$CE = DE=\frac{1}{2}DC$。
∴ $DF = CF = 10$。
∵ 点 $C$，$F$ 关于 $DG$ 对称，
∴ $DC = DF = 10$，
∴ $DE=\frac{1}{2}DC = 5$。
∴ $EB = DE\cdot\tan\angle 1 = 5\times\frac{2}{5}=2$。
∵ $\angle 1=\angle 2$，
∴ $\tan\angle 2=\frac{2}{5}$。
∴ $AE=\frac{DE}{\tan\angle 2}=\frac{5}{\frac{2}{5}}=\frac{25}{2}$。
∴ $AB = AE + EB=\frac{25}{2}+2=\frac{29}{2}$。
∴ $\odot O$ 的半径为 $\frac{29}{4}$