《2025年通城学典活页检测九年级数学下册北师大版》

8. (14分)在Rt△ABC中，∠C = 90°，根据下面的条件解直角三角形：
(1) AC = 4，AB = 7(角度精确到1′，边长精确到0.1)；
(2) ∠B = 36°，a = 4(边长精确到0.1).

答案： （1）在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC = √(AB² - AC²) = √(7² - 4²) = √33 ≈ 5.7.
∵ cos A = AC/AB = 4/7，
∴ ∠A ≈ 55°9'.
∴ ∠B ≈ 90° - 55°9' = 34°51' （2）在Rt△ABC中，
∵ ∠C = 90°，∠B = 36°，
∴ ∠A = 90° - ∠B = 90° - 36° = 54°.
∵ cos B = a/c，a = 4，
∴ c = a/cos B = 4/cos 36° ≈ 4.9.
∵ tan B = b/a，
∴ b = a tan B = 4×tan 36° ≈ 2.9

9. (14分)如图，在△ABC中，AB = AC = 9，BC = 6. 求：
(1) sin C的值；
(2) 边AC上的高BD的长.
　　　

答案：
（1）如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E.
∵ AB = AC，
∴ EC = 1/2BC = 3. 在Rt△AEC中，由勾股定理，得AE = √(AC² - EC²) = √(9² - 3²) = 6√2.
∴ sin C = AE/AC = 6√2/9 = 2√2/3 （2）在Rt△BDC中，
∵ sin C = BD/BC = 2√2/3，
∴ BD/6 = 2√2/3.
∴ BD = 4√2

10. (16分)(宁波中考)每年的11月9日是我国的“全国消防安全宣传教育日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习. 如图①，架在消防车上的云梯AB可伸缩(最长可伸至20 m)，且可绕点B转动，点A在线段EF上，点B到地面的距离BC为2 m，到EF的距离BD为9 m(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3).
(1) 如图①，若∠ABD = 53°，求此时云梯AB的长.
(2) 如图②，若在建筑物底部E的正上方19 m处突发险情，则在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由.
　　　　

答案： （1）在Rt△ABD中，
∵ ∠ABD = 53°，BD = 9 m，
∴ AB = BD/cos 53° ≈ 9/0.6 = 15(m).
∴ 此时云梯AB的长为15 m （2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处 理由：由题意，得DE = BC = 2 m. 令AE = 19 m，则AD = AE - DE = 19 - 2 = 17(m). 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB = √(AD² + BD²) = √(17² + 9²) = √370(m).
∵ √370 ＜ 20，
∴ 在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处.