《2025年通城学典活页检测九年级数学下册北师大版》

9. (12分)已知抛物线$y_{1}=a(x - h)^{2}+k$与$y_{2}=x^{2}+2x - 8$的开口方向和形状都相同，且抛物线$y_{1}$的最低点的坐标是(-2，-1).
(1)求抛物线$y_{1}$对应的函数表达式；
(2)抛物线$y_{1}$是由$y_{2}$怎样平移得到的?

答案：
(1)
∵抛物线$y_{1}=a(x - h)^{2}+k$与$y_{2}=x^{2}+2x - 8$的开口方向和形状都相同，
∴$a = 1$.
∵抛物线$y_{1}$的最低点的坐标是(-2,-1)，
∴抛物线$y_{1}$对应的函数表达式为$y_{1}=(x + 2)^{2}-1$
(2) 由$y_{2}=x^{2}+2x - 8=(x + 1)^{2}-9$可知，抛物线$y_{1}$是由$y_{2}$向左平移1个单位长度，向上平移8个单位长度得到的

10. (12分)已知二次函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}+6x - 10$.
(1)利用配方法将它改写成$y = a(x - h)^{2}+k$的形式；
(2)写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)画出其图象；
(4)其图象是由二次函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}$的图象怎样平移得到的?

答案：

(1)$y = -\frac{1}{2}x^{2}+6x - 10 = -\frac{1}{2}(x^{2}-12x + 36)+18 - 10 = -\frac{1}{2}(x - 6)^{2}+8$
(2) 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线$x = 6$，顶点坐标为(6,8)
(3) 如图所示  
(4) 把二次函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}$的图象向右平移6个单位长度，向上平移8个单位长度即可得到二次函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}+6x - 10$的图象

11. (16分)已知抛物线$y = ax^{2}-2ax - 3 + 2a^{2}$是y关于x的二次函数的图象.
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其对应的函数表达式；
(3)设点$P(m,y_{1}),Q(3,y_{2})$在该抛物线上，若$y_{1}＜y_{2}$，求m的取值范围.

答案：
(1)抛物线的对称轴为直线$x = -\frac{-2a}{2a}=1$
(2)
∵抛物线$y = ax^{2}-2ax - 3 + 2a^{2}=a(x - 1)^{2}+2a^{2}-a - 3$的顶点在$x$轴上，
∴$2a^{2}-a - 3 = 0$，解得$a_{1}=\frac{3}{2}$，$a_{2}=-1$.
∴抛物线对应的函数表达式为$y = \frac{3}{2}x^{2}-3x+\frac{3}{2}$或$y = -x^{2}+2x - 1$
(3)
∵抛物线的对称轴是直线$x = 1$，
∴当$m = -1$时，$y_{1}=y_{2}$. ①当$a＞0$时，抛物线的开口向上.
∵点$P(m,y_{1})$，$Q(3,y_{2})$在抛物线上，且$y_{1}＜y_{2}$，
∴$-1＜m＜3$. ②当$a＜0$时，抛物线的开口向下.
∵点$P(m,y_{1})$，$Q(3,y_{2})$在抛物线上，且$y_{1}＜y_{2}$，
∴$m＞3$或$m＜-1$. 综上所述，当$a＞0$时，$-1＜m＜3$；当$a＜0$时，$m＞3$或$m＜-1$