《2025年通城学典活页检测九年级数学下册北师大版》

9. (14分)已知二次函数$y=x^{2}+mx+m^{2}-3$($m$为常数，$m＞0$)的图象经过点$P(2,4)$.
(1) 求$m$的值；
(2) 判断二次函数$y=x^{2}+mx+m^{2}-3$的图象与$x$轴交点的个数,并说明理由.

答案：
(1)将(2,4)代入$y=x^{2}+mx + m^{2}-3$，得$4 = 4+2m + m^{2}-3$，解得$m_{1}=1,m_{2}=-3$.又
∵$m＞0$，
∴$m = 1$.
(2)二次函数$y=x^{2}+mx + m^{2}-3$的图象与$x$轴有2个交点.理由：
∵$m = 1$，
∴$y=x^{2}+x - 2$.
∵$1^{2}-4\times1\times(-2)=9＞0$，
∴二次函数$y=x^{2}+x - 2$的图象与$x$轴有2个交点.

10. (16分)(乐山中考)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+x - m = 0$.
(1) 若方程有两个不相等的实数根,求$m$的取值范围；
(2) 二次函数$y=x^{2}+x - m$的部分图象如图所示,求一元二次方程$x^{2}+x - m = 0$的根.
　　　　　

答案：
(1)
∵一元二次方程$x^{2}+x - m=0$有两个不相等的实数根，
∴$1 + 4m＞0$，解得$m＞-\frac{1}{4}$.
(2)
∵二次函数$y=x^{2}+x - m$的图象的对称轴为直线$x =-\frac{1}{2}$，
∴该二次函数的图象与$x$轴的两个交点关于直线$x =-\frac{1}{2}$对称.由题图，可知该二次函数的图象与$x$轴的一个交点为(1,0)，
∴另一个交点为(-2,0).
∴一元二次方程$x^{2}+x - m=0$的根为$x_{1}=1,x_{2}=-2$.

11. (16分)王强在一次高尔夫球的练习中,在某处击球,其飞行路线可以用二次函数$y=-\frac{1}{5}x^{2}+\frac{8}{5}x$刻画,其中$y$(m)是球的飞行高度,$x$(m)是球飞出的水平距离.
(1) 作出二次函数$y=-\frac{1}{5}x^{2}+\frac{8}{5}x$的图象.
(2) 球飞出的最大水平距离是多少？
(3) 当$x = 2$时,球的飞行高度是多少？
(4) 方程$-\frac{1}{5}x^{2}+\frac{8}{5}x = 3$的根是多少？其实际意义是什么？你能在图中表示出来吗？

答案：

(1)如图所示
(2)令$y = 0$，则$-\frac{1}{5}x^{2}+\frac{8}{5}x = 0$，解得$x_{1}=0,x_{2}=8$.
∴二次函数$y=-\frac{1}{5}x^{2}+\frac{8}{5}x$的图象与$x$轴交于点(0,0)，(8,0).
∴球飞出的最大水平距离是8m.
(3)当$x = 2$时，$y=-\frac{1}{5}\times2^{2}+\frac{8}{5}\times2=\frac{12}{5}$.
∴球的飞行高度是$\frac{12}{5}$m.
(4)解方程$-\frac{1}{5}x^{2}+\frac{8}{5}x = 3$，得$x_{1}=3,x_{2}=5$.实际意义是球的飞行高度是3m时，球飞出的水平距离是3m或5m.在图中表示如图所示