《2025年通城学典活页检测九年级数学下册北师大版》

10. (12分)如图，有一段长为24 m的篱笆，利用一面墙(墙的最大可用长度为10 m)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃。设垂直于墙的边AB的长为x m，花圃的面积为y m²。
(1) 写出y与x之间的函数关系式，这是一个什么函数？
(2) 直接写出自变量x的取值范围。
　　　　　

答案：
(1) 由题意，得$y=(24 - 3x)x=-3x^{2}+24x$，这是一个二次函数
(2) 由题意，得自变量$x$的取值范围是$\frac{14}{3}\leq x＜8$

11. (12分)某店销售一种工艺品。该工艺品每件的进价为12元，售价为20元。每周可售出40件。经调查发现，若每件工艺品的售价每提高1元，就会少售出2件。设每件工艺品的售价提高x元，每周从销售这种工艺品中获得的利润为y元。
(1) 每件工艺品的售价提高x元后的利润为_______元，每周可售出工艺品_______件，y与x之间的函数关系式为______________；
(2) 若y = 384，则每件工艺品的售价应确定为多少元？

答案：
(1) $(8 + x)$ $(40 - 2x)$ $y=-2x^{2}+24x + 320$
(2) $\because y = 384$，$\therefore 384=-2x^{2}+24x + 320$，解得$x_{1}=4$，$x_{2}=8$。$\because x_{1}+20 = 24$，$x_{2}+20 = 28$，$\therefore$ 每件工艺品的售价应确定为 24 元或 28 元

12. (14分)如图，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，BC = EF = 8，∠C = ∠F = 90°，且点C，E，B，F在同一条直线上。将△ABC沿CB方向平移，点E，B始终在线段CF上，AB与DE相交于点P。设CE = x，△PBE的面积为S。
(1) 求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2) 当x = 3时，求△PBE的面积。
　　　　　　

答案：
(1) $\because CE = x$，$BC = 8$，$\therefore EB = 8 - x$。$\because \triangle ABC$与$\triangle DEF$是两个全等的等腰直角三角形，$\therefore \angle ABC=\angle DEF = 45^{\circ}$。$\therefore \angle BPE = 90^{\circ}$，$PB = PE = EB\cdot\sin45^{\circ}$。$\therefore PB = PE=\frac{\sqrt{2}}{2}EB=\frac{\sqrt{2}}{2}(8 - x)$。$\therefore S=\frac{1}{2}PB\cdot PE=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}(8 - x)\times\frac{\sqrt{2}}{2}(8 - x)=\frac{1}{4}x^{2}-4x + 16$。由题意，得$\begin{cases}8 - x＞0 \\ x\geq0\end{cases}$，解得$0\leq x＜8$
(2) 当$x = 3$时，$\triangle PBE$的面积$S=\frac{1}{4}\times3^{2}-4\times3 + 16=\frac{25}{4}$