《2025年通城学典活页检测九年级数学下册北师大版》

10. (12分)已知一个正方形的周长为$C$，面积为$S$.
(1) 求$S$关于$C$的函数表达式，并画出图象；
(2) 根据图象，求出当$S = 1$时，正方形的周长.

答案：

(1) 由题意，得S = ($\frac{C}{4}$)² = $\frac{C²}{16}$(C＞0). 列表如下：

画出图象如图所示
(2) 由图象，可知当S = 1时，C = 4，即正方形的周长是4

11. (12分)已知函数$y = (m + 2)x^{m^{2}+m - 4}$是关于$x$的二次函数.
(1) 求$m$的值.
(2) 当$m$为何值时，二次函数的图象有最高点？求出这个最高点的坐标，并写出当$x$在什么范围内时，$y$随$x$的增大而增大.

答案：
(1) 由题意，得m² + m - 4 = 2，且m + 2 ≠ 0，解得m₁ = 2，m₂ = - 3
(2) 若二次函数的图象有最高点，则二次函数的图象开口向下.
∴ m + 2 ＜ 0，即m ＜ - 2.
∴ 当m = - 3时，y = - x²，二次函数的图象有最高点，最高点为二次函数的图象的顶点，其坐标为(0,0). 当x ＜ 0时，y随x的增大而增大

12. (14分)已知抛物线$y = ax^{2}+k$与$y = 3x^{2}$仅位置不同，其顶点坐标是$(0,-2)$.
(1) 写出抛物线$y = ax^{2}+k$对应的函数表达式，并说明该抛物线是由抛物线$y = 3x^{2}$经过怎样的平移变换得到的；
(2) 写出抛物线$y = ax^{2}+k$的开口方向和对称轴；
(3) 写出$y$随$x$的变化而变化的情况；
(4) 若$M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})$是抛物线$y = ax^{2}+k$上的两点，且$x_{1}＜x_{2}＜0$，试比较$y_{1}$与$y_{2}$的大小.

答案：
(1) 由题意，得a = 3，k = - 2.
∴ y = 3x² - 2. 它是由抛物线y = 3x²向下平移2个单位长度得到的
(2) 开口向上，对称轴为y轴
(3) 当x ＞ 0时，y随x的增大而增大；当x ＜ 0时，y随x的增大而减小
(4) 由
(3)，可知y₁ ＞ y₂