《2025年通城学典活页检测九年级数学下册北师大版》

8. (12分)如图，∠ACB = 90°，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，斜边上的高CO在y轴上，且OA = 1，OC = 2，求经过A，B，C三点的抛物线对应的函数表达式.
　　　　

答案：
∵∠AOC=∠ACB = 90°，
∴∠CAO+∠ACO = 90°，∠CAO+∠CBO = 90°.
∴∠ACO=∠CBO. 又
∵∠AOC=∠COB = 90°，
∴△ACO∽△CBO.
∴$\frac{OC}{OB}=\frac{OA}{OC}$.
∴OC²=OB·OA.
∵OA = 1，OC = 2，
∴OB = 4.
∴A(-1,0)，B(4,0)，C(0,2). 设经过A，B，C三点的抛物线对应的函数表达式为$y = ax^{2}+bx + c$. 将A(-1,0)，B(4,0)，C(0,2)代入，得$\begin{cases}a - b + c = 0,\\16a + 4b + c = 0,\\c = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{2},\\b = \frac{3}{2},\\c = 2.\end{cases}$
∴经过A，B，C三点的抛物线对应的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x + 2$

9. (16分)有这样一道题：已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象经过点A(1,-4)，B(0,-3)， ，求证：这个二次函数的图象必经过定点P(-1,0).题中的矩形阴影部分是一个被墨水污染从而无法辨认的条件.
(1) 你能根据题中信息求出这个二次函数的表达式吗？若能，请求出；若不能，请说明理由.
(2) 请你根据已有信息，在原题中添加一个适当的条件，把原题补充完整.

答案：
(1) 能 把A(1,-4)，B(0,-3)，P(-1,0)代入$y = ax^{2}+bx + c$，得$\begin{cases}-4 = a + b + c,\\-3 = c,\\0 = a - b + c,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = 1,\\b = -2,\\c = -3.\end{cases}$
∴这个二次函数的表达式为$y = x^{2}-2x - 3$
(2) 答案不唯一，如该图象的对称轴为直线$x = 1$

10. (16分)(常德中考)如图，抛物线过点O(0,0)，A(5,5)，且它的对称轴为直线x = 2.
(1) 求此抛物线对应的函数表达式；
(2) 若B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求点B的坐标.

答案：

(1)
∵抛物线过点O(0,0)，A(5,5)，且它的对称轴为直线$x = 2$，
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(4,0). 设抛物线对应的函数表达式为$y = ax(x - 4)$. 把A(5,5)代入，得$5a = 5$，解得$a = 1$.$\therefore y = x(x - 4)=x^{2}-4x$.
∴此抛物线对应的函数表达式为$y = x^{2}-4x$
(2)
∵B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
∴设$B(2,m)(m＞0)$，设直线OA对应的函数表达式为$y = kx$，则$5k = 5$，解得$k = 1$.
∴直线OA对应的函数表达式为$y = x$. 如图，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则$H(2,2)$.
∴$BH = m - 2$.
∵$S_{\triangle OAB}=S_{\triangle OBH}+S_{\triangle ABH}=15$，
∴$\frac{1}{2}\times(m - 2)\times5 = 15$，解得$m = 8$.
∴点B的坐标为(2,8)