《2025年通城学典活页检测九年级数学下册北师大版》

9. (12分)如图，抛物线y=ax²+bx交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B，求抛物线对应的函数表达式.
　　　　　

答案： 当$x = 2$时，$y = 2x = 4$，
∴ 点$M$的坐标为$(2,4)$. 设抛物线对应的函数表达式为$y = a(x - 2)^{2}+4$. 将$(0,0)$代入，得$0 = a\cdot(0 - 2)^{2}+4$，解得$a = -1$.
∴ 抛物线对应的函数表达式为$y = -(x - 2)^{2}+4$

10. (16分)已知抛物线y=ax²+bx+1经过点(1,-2)，(-2,13).
(1) 求a，b的值；
(2) 若(5,y₁)，(m,y₂)是抛物线上不同的两点，且y₂=12-y₁，求m的值.

答案：
(1) 由题意，把$(1,-2)$，$(-2,13)$代入$y = ax^{2}+bx + 1$，得$\begin{cases}-2 = a + b + 1\\13 = 4a - 2b + 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = -4\end{cases}$
(2) 由
(1)，得该抛物线对应的函数表达式为$y = x^{2}-4x + 1$. 把$x = 5$代入$y = x^{2}-4x + 1$，得$y_{1}=6$.
∴ $y_{2}=12 - y_{1}=6$.
∴ $y_{1}=y_{2}$.
∵ $(5,y_{1})$，$(m,y_{2})$是不同的两点，
∴ 这两点关于抛物线的对称轴对称.
∵ 抛物线的对称轴为直线$x = -\frac{-4}{2\times1}=2$，
∴ $m = 2\times2 - 5 = -1$

11. (16分)随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽.小明家附近广场中央新建了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2 m的喷水管，它喷出的抛物线型水柱在与水池中心的水平距离为1 m处达到最高，水柱落地处离水池中心3 m.
(1) 请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱所在的抛物线对应的函数表达式；
(2) 求水柱的最大高度.

答案：

(1) 建立的平面直角坐标系不唯一，如图，以喷水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为$x$轴，喷水管所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系. 由题意，可设抛物线对应的函数表达式为$y = a(x - 1)^{2}+h$. 把$(0,2)$和$(3,0)$代入，得$\begin{cases}2 = a + h\\0 = 4a + h\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\frac{2}{3}\\h = \frac{8}{3}\end{cases}$
∴ 水柱所在的抛物线对应的函数表达式为$y = -\frac{2}{3}(x - 1)^{2}+\frac{8}{3}(0\leqslant x\leqslant3)$  
(2)
∵ $y = -\frac{2}{3}(x - 1)^{2}+\frac{8}{3}$，
∴ 当$x = 1$时，$y$取得最大值$\frac{8}{3}$，即水柱的最大高度为$\frac{8}{3}$m