《2025年通城学典活页检测九年级数学下册北师大版》

8. (16分)如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，BC = 5.

(1)求AB的长；
(2)求$\sin A$，$\cos A$的值；
(3)求$\sin^{2}A+\cos^{2}A$的值；
(4)比较$\sin A$与$\cos B$的大小.

答案： （1）在Rt△ABC中，由勾股定理，得$AB = \sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}} = 13$
（2）在Rt△ABC中，$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{13}$
（3）$\because\sin A=\frac{5}{13}$，$\cos A=\frac{12}{13}$，$\therefore\sin^{2}A+\cos^{2}A = (\frac{5}{13})^{2}+(\frac{12}{13})^{2}=1$
（4）$\because\sin A=\frac{5}{13}$，$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$，$\therefore\sin A=\cos B$

9. (12分)如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，点D在边BC上，AD = BC = 5，$\cos\angle ADC=\frac{3}{5}$. 求$\sin B$的值.
　　　

答案： 在Rt△ADC中，$\because AD = 5$，$\cos\angle ADC=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{5}$，$\therefore CD = 3$. $\therefore$由勾股定理，得$AC=\sqrt{AD^{2}-CD^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+5^{2}}=\sqrt{41}$. $\therefore\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{\sqrt{41}}=\frac{4\sqrt{41}}{41}$

10. (16分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，$\sin A=\frac{4}{5}$，BC = 8，D是AB的中点，过点B作CD的垂线，交CD的延长线于点E. 求：
(1)线段CD的长；
(2)$\cos\angle ABE$的值.
　　　　　

答案： （1）在Rt△ABC中，$\because\angle ACB = 90^{\circ}$，$BC = 8$，$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，$\therefore AB = 10$. $\because D$是$AB$的中点，$\therefore CD=\frac{1}{2}AB = 5$
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理，得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6$. $\because D$是$AB$的中点，$\therefore BD=\frac{1}{2}AB = 5$. $\therefore S_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，即$\frac{1}{2}CD\cdot BE=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}AC\cdot BC$. $\therefore BE=\frac{AC\cdot BC}{2CD}=\frac{6\times8}{2\times5}=\frac{24}{5}$. $\therefore$在Rt△BDE中，$\cos\angle DBE=\frac{BE}{BD}=\frac{\frac{24}{5}}{5}=\frac{24}{25}$，即$\cos\angle ABE=\frac{24}{25}$