《2025年通城学典活页检测九年级数学下册北师大版》

8.(14分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交AB于点D,交BC于点E.
(1)求证:BE=CE;
(2)若BD=2,BE=3,求AC的长.

答案： （1）连接AE.
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC = 90°.
∴AE⊥BC. 又
∵AB = AC，
∴BE = CE （2）连接DE.
∵BE = 3，BE = CE，
∴BC = 2BE = 6.
∵四边形ACED为⊙O的内接四边形，
∴∠BED = ∠BAC.
∵∠B = ∠B，
∴△BED∽△BAC.
∴$\frac{BE}{BA}=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{3}{BA}=\frac{2}{6}$.
∴BA = 9.
∴AC = AB = 9

9.(14分)(威海中考)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD,延长CD至点E.
(1)若AB=AC,求证:∠ADB=∠ADE;
(2)若BC=3,⊙O的半径为2,求sin∠BAC.

答案：
（1）
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADE = ∠ABC.
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB.
∵∠ACB = ∠ADB，
∴∠ADB = ∠ADE （2）如图，连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，则∠FBC = 90°. 在Rt△BCF中，
∵CF = 2×2 = 4，BC = 3，
∴sinF = $\frac{BC}{CF}=\frac{3}{4}$.
∵∠F = ∠BAC，
∴sin∠BAC = $\frac{3}{4}$

10.(16分)如图,△ABC的三个顶点在⊙O上,AB为⊙O的直径,AB=10,AC=6,连接OC,弦AD分别交OC,BC于点E,F,其中E是AD的中点.
(1)求证:∠CAD=∠CBA;
(2)求OE的长.

答案： （1）
∵E是AD的中点，OC是半径，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$.
∴∠CAD = ∠CBA （2）
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA = 90°.
∵E是AD的中点，OC是半径，
∴OC⊥AD.
∴∠AEC = 90°.
∴∠AEC = ∠BCA. 又
∵∠CAE = ∠ABC，
∴△AEC∽△BCA.
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{AC}{BA}$，即$\frac{CE}{6}=\frac{6}{10}$.
∴CE = 3.6.
∵OC = $\frac{1}{2}$AB = 5，
∴OE = OC - CE = 5 - 3.6 = 1.4