《2025年小升初考试新题型新考法真题精选详解数学》

3. 正方形ABCD的边长为8厘米，等腰直角三角形EFG的斜边GF长26厘米。正方形与三角形放在同一直线上，如图，CF=10厘米，正方形以每秒2厘米的速度向右沿直线运动。
（1）第7秒时，三角形和正方形重叠部分的面积是多少平方厘米？试画图解答。
（2）第几秒时，三角形和正方形重叠部分的面积是56平方厘米？试画图解答。
　　　　　　　　　　

答案：

(1) $2\times7 = 14$（$cm$）（$C$点移动距离）
此时$FC=14 - 10 = 4$（$cm$）
$S_{重叠}=S_{\triangle FCH}=4\times4\div2 = 8$（$cm^{2}$）

(2) 因为$8\times8 = 64$（$cm^{2}$），$64 - 56 = 8$（$cm^{2}$），所以没有重叠的空白三角形面积是$8cm^{2}$。
由$8 = 4\times4\div2$可知，空白三角形是直角边为$4cm$的等腰三角形。
情况一：如下图。

$AM = AN = 4cm$
$8 - 4 = 4$（$cm$）（$ND = DF = 4cm$）
$8 + 10 + 4 = 22$（$cm$）（$D$点移动距离）
$22\div2 = 11$（秒）（$D$点移动时间）
情况二：如下图。

$BP = BQ = 4cm$
$8 - 4 = 4$（$cm$）（$CQ = CG$）
点$C$移动的距离为：$10+(26 - 4)=32$（$cm$）
正方形移动的时间为：$32\div2 = 16$（秒）
综上，第11秒和第16秒时，三角形和正方形重叠部分的面积是56平方厘米。

4. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BC=3AD。
（1）如图①，联结AC，如果三角形ADC的面积为6，求梯形ABCD的面积。
（2）如图②，E是腰AB上的一点，联结CE，设△BCE和四边形AECD的面积分别为S₁和S₂，且2S₁=3S₂，求$\frac{AE}{BE}$的值。
（3）如图③，AB=CD，如果CE⊥AB于点E，且BE=3AE，求∠B的度数。
　　　　　　　　　　　　　

答案：

(1) 在梯形$ABCD$中，因为$AD// BC$，又$\triangle ADC$与$\triangle ABC$等高，且$BC = 3AD$，所以$S_{\triangle ABC}=3S_{\triangle ADC}$，又因为$S_{\triangle ADC}=6$，所以$S_{梯形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=4S_{\triangle ADC}=4\times6 = 24$。
(2) 联结$AC$，如图①，设$\triangle AEC$的面积为$S_{3}$，则由题可得$\begin{cases}2S_{1}=3S_{2}\\S_{1}+S_{3}=3(S_{2}-S_{3})\end{cases}$
解得$S_{1}=4S_{3}$，所以$\frac{S_{3}}{S_{1}}=\frac{1}{4}$。
因为$\triangle AEC$与$\triangle BEC$等高，所以$\frac{AE}{BE}=\frac{1}{4}$。

(3) 如图②，延长$BA$，$CD$相交于点$M$。

因为$AD// BC$，
所以$\frac{AD}{BC}=\frac{MA}{MB}=\frac{1}{3}$，$MB = 3MA$。
设$MA = 2x$，则$MB = 6x$，$AB = 4x$。
因为$BE = 3AE$，
所以$BE = 3x$，$AE = x$，故$BE = EM = 3x$，$E$为$MB$的中点。
又因为$CE\perp AB$，所以$CB = MC$。
因为$AB = CD$，所以$MB = MC = BC$，
所以$\triangle MBC$为等边三角形，故$\angle B = 60^{\circ}$。