《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1. 已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l:x = -3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为 （ ）
A. y² = 12x
B. y² = -12x
C. x² = 12y
D. x² = -12y

答案： A　[解析]设动点M(x,y)，圆M与直线l:x = -3的切点为N，则|MA| = |MN|，即动点M到定点A和定直线l:x = -3的距离相等，
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l:x = -3为准线，故动圆圆心M的轨迹方程是y² = 12x.故选A.

2. [四川成都石室中学2024高二期中]已知F是抛物线C:y² = 8x的焦点，P为抛物线C上一点. 若|PF| = 20，则点P的横坐标为 （ ）
A. 12
B. 16
C. 18
D. 19

答案：
C　[解析]由抛物线C:y² = 8x，可得p = 4，所以准线方程为l:x = -2.如图所示，设点P(x₁,y₁)，其中x₁≥0，过点P作PA⊥l，垂足为A，由抛物线的定义得|PF| = |PA| = 20，所以x₁ + 2 = 20，解得x₁ = 18，即点P的横坐标为18.故选C.
　　　　

3. 以x轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是 （ ）
A. y² = 8x
B. y² = -8x
C. y² = 8x或y² = -8x
D. x² = 8y或x² = -8y

答案： C　[解析]依题意设抛物线方程为y² = ±2px(p＞0).因为焦点到准线的距离为4，所以p = 4，所以2p = 8，所以抛物线方程为y² = 8x或y² = -8x.故选C.

4. 动圆M与定圆C:x² + y² + 4x = 0相外切，且与直线l:x = 2相切，则动圆M的圆心(x,y)满足的方程为 （ ）
A. y² - 12x + 12 = 0
B. y² + 12x - 12 = 0
C. y² + 8x = 0
D. y² - 8x = 0

答案： B　[解析]由题知C(-2,0)，设动圆M的半径为r，圆心M到直线l的距离为d，则根据两圆相外切及直线与圆相切可得|MC| = 2 + r，d = r，
∴|MC| - d = 2，即√((x + 2)² + y²) - (2 - x) = 2，化简得y² + 12x - 12 = 0.
∴动圆M的圆心(x,y)满足的方程为y² + 12x - 12 = 0.故选B.

5. [重庆西南大学附属中学2023高二月考]顶点在原点，且过点(-2,2)的抛物线的标准方程是 （ ）
A. y² = -2x
B. x² = 2y
C. y² = 2x或x² = -2y
D. y² = -2x或x² = 2y

答案： D　[解析]点(-2,2)在第二象限.当焦点在y轴上时，可设抛物线的标准方程为x² = 2py(p＞0)，把(-2,2)的坐标代入解得p = 1，所以抛物线的标准方程为x² = 2y.当焦点在x轴上时，可设抛物线的标准方程为y² = -2nx(n＞0)，把(-2,2)的坐标代入解得n = 1，所以抛物线的标准方程为y² = -2x.故选D.
[规律方法]抛物线的标准方程:
①y² = 2mx，当m＞0时，为开口向右的抛物线；当m＜0时，为开口向左的抛物线
②x² = 2my，当m＞0时，为开口向上的抛物线；当m＜0时，为开口向下的抛物线

6. [安徽合肥一中2024高二月考]抛物线y = 2x²的焦点坐标是 （ ）
A. (1/2,0)
B. (1/8,0)
C. (0,1/2)
D. (0,1/8)

答案： D　[解析]抛物线y = 2x²的标准方程为x² = 1/2y，所以焦点在y轴正半轴.由2p = 1/2得p = 1/4，则p/2 = 1/8，所以焦点坐标为(0,1/8).故选D.

7. [河南南阳2024高二月考]抛物线y = ax²上一点P(-1,2)到其准线的距离为 （ ）
A. 5/2
B. 17/8
C. 1/2
D. 7/8

答案： B　[解析]把点P(-1,2)的坐标代入抛物线方程，解得a = 2，所以抛物线的方程为y = 2x²，即x² = 1/2y，抛物线的准线的方程为y = -1/8，所以点P(-1,2)到抛物线准线的距离为2 - (-1/8) = 17/8.故选B.

8. 已知抛物线D:y² = 4x的焦点为F，准线为l，点P在D上，过点P作准线l的垂线，垂足为A. 若|PA| = |AF|，则|PF| = （ ）
A. 2
B. 2√2
C. 2√3
D. 4

答案：
8.D　[解析]由题知F(1,0)，准线l:x = -1，设准线l与x轴的交点为C，点P在D上，则由抛物线的定义及已知得|PA| = |AF| = |PF|，则△PAF为等边三角形，如图所示.
方法一:因为∠APF = π/3，AP//x轴，所以直线PF的斜率k = √3，所以直线PF:y = √3(x - 1)，由{y² = 4x,y = √3(x - 1)}解得P(3,2√3)或P(1/3,-2√3/3)(舍去)，所以|PF| = x_P + p/2 = 3 + 1 = 4.故选D.
方法二:在Rt△ACF中，|CF| = 2，∠AFC = π/3，则|AF| = |PF| = 4.故选D.
方法三:过F作FB⊥AP于点B，则B为AP的中点，因为|AB| = 2，所以|AP| = |PF| = 4.故选D.
　　　　

9. 已知点A(0,2)，抛物线C:y² = 2px(p＞0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N. 若|FM|/|MN| = √5/5，则p = （ ）
A. 1/8
B. 1/4
C. 2
D. 4

答案：
9.C　[解析]如图，F(p/2,0)，过点M作准线的垂线MK，垂足为K，则|MK| = |MF|，又|FM|/|MN| = √5/5，所以|MK|/|MN| = √5/5，则|KN|:|MK| = 2:1，即直线FA的斜率是-2，所以(2 - 0)/(0 - p/2) = -2，解得p = 2.故选C.
　　　　

10. [浙江嘉兴2024高二期中]已知定点A(-2,4)，点P为抛物线y² = 4x上一动点，点P到直线x = -2的距离为d，则|PA| + d的最小值为 （ ）
A. 5
B. 4√2
C. 6
D. 12

答案：
10.C　[解析]由题知，抛物线的焦点为F(1,0)，设点P(x,y)，则d = x + 2 = (x + 1) + 1 = |PF| + 1，则|PA| + d = |PA| + |PF| + 1≥|AF| + 1 = √((-2 - 1)² + 4²) + 1 = 6，当且仅当点P为线段AF与抛物线的交点时，等号成立，故|PA| + d的最小值为6.故选C.
　　　　

11. [北京清华大学附属中学2023高二期末]点P在抛物线y² = 4x上，则点P到直线x = -1的距离与到直线3x - 4y + 12 = 0的距离之和的最小值为 （ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

答案： 11.B　[解析]由抛物线定义知，点P到直线x = -1的距离等于点P到抛物线焦点的距离，所以点P到直线x = -1的距离与到直线3x - 4y + 12 = 0的距离之和的最小值，即为焦点(1,0)到直线3x - 4y + 12 = 0的距离，即为|3×1 - 4×0 + 12|/√(3² + 4²) = 3.故选B.

12. 已知抛物线x² = 16y的焦点为F，点P在抛物线上，点Q在圆E:(x - 2)² + (y - 6)² = 4上，则|PQ| + |PF|的最小值为 （ ）
A. 12
B. 10
C. 8
D. 6

答案：
12.C　[解析]由题意知，圆心E(2,6)，半径r = 2，抛物线的焦点F(0,4)，准线l:y = -4.如图，作PH⊥l于点H，因为P在抛物线上，所以|PF| = |PH|. |PQ| + |PF| = |PQ| + |PH|≥|QH|，当P,Q,H三点共线时，取等号.过E作直线l的垂线，垂足为H₁，与圆E交于点Q₁，与抛物线交于点P₁，则有|QH|≥|EH₁| - |EQ₁| = 6 - (-4) - 2 = 8，此时，E,Q₁,P₁,H₁四点共线，且Q₁,P₁在线段EH₁上，则上述两式可同时取等号.所以|PQ| + |PF|的最小值为8.故选C.