《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1.若直线过点(1,1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则这样的直线有 ( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条

答案： C　[解析]设直线的截距式方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1(a≠0,b≠0).
∵直线经过点(1,1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2.−1+$\frac{1}{6}$=
　1,$\frac{1}{2}$labl=2,解得{ab==22,或
{ab==−−22−+22√√22,或{ab==−−22−+22√√22.,
∴满足题意的直线的条数为3.

2.[福建师范大学附属中学2024高二期中]不论实数a取何值时,直线(2a - 1)x+(-a+3)y - 5 = 0都过定点M,则直线2x - y+3 = 0关于点M对称的直线方程为 ( )
A.x - 2y - 6 = 0
B.x - 2y = 0
C.2x - y - 9 = 0
D.2x - y - 3 = 0

答案： D　[解析]由(2a−1)x+(−a+3)y−5=
　0可得a(2x−y)−x+3y−5=0,
　令2−xx−+y3=y−05,=0,解得{xy==21,,所以M(1,2).
　设直线2x−y+3=0关于点M对称的直线方程为2x−y+b=0,则M(1,2)到直线2x−y+3=0与2x−y+b=0的距离相等，所以$\frac{12−2+31}{\sqrt{5}}$=$\frac{12−2+61}{\sqrt{5}}$,解得b=
　3(两直线重合,舍去)或b=−3.
　故直线2x−y+3=0关于点M对称的直线方程为2x−y−3=0.故选D.
[多种解法]用上述解法求出点M(1,2),设直线2x−y+3=0关于点M对称的直线方程为2x−y+b=0.
　在直线2x−y+3=0上任取一点,如点(0,3).设点(0,3)关于点M对称的$\frac{m}{2}$=1,
　点的坐标为(m,n),则有　　　　解$\frac{3+n}{2}$=2,得m=;所以点(2,1))在直线2x−y+b=0上,则2x2−1+b=0,解得b=−3,所以所求直线方程为2x−y−3=0.
[规律方法]若两直线关于点对称,则两直线平行，且点到这两条直线的距离相等，可以列式求出方程中的参数;也可以先任取直线上一点，得到点关于对称点对称的点的坐标，然后代人所求直线的方程中，解出参数

3.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:三角形的外心、重心、九点圆圆心和垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线. 已知△ABC的顶点A(4,0),B(0,2),C(0, - 3),则△ABC欧拉线的方程为 ( )
A.x+2y - 3 = 0
B.2x+y - 3 = 0
C.x - 2y - 3 = 0
D.2x - y - 3 = 0

答案： D　[解析]由题可得△ABC的重心为G($\frac{4}{3}$,−$\frac{1}{3}$)
　直线AB的斜率为$\frac{0−2}{4−0}$=−$\frac{1}{2}$,所以AB 边上的高所在直线的斜率为2,则AB 边上的高所在直线的方程为y+3=
　2(x−0),即2x−y−3=0.
　直线AC的斜率为$\frac{0+3}{4−0}$=$\frac{3}{4}$,所以AC 边上的高所在直线的斜率为−$\frac{4}{3}$,则
AC边上的高所在直线的方程为y−2=
　−$\frac{4}{3}$(x−0),即4x+3y−6=0.
　联立{42xx−+y3−y3−6==00,,解得{x=$\frac{3}{2}$,则垂y=0,
心H的坐标为$\frac{3}{2}$,,
　　　　　　　　　　−$\frac{1}{3}$
　因此直线GH的斜率为$\frac{3}{43}$=2,则$\frac{4}{3}$−$\frac{3}{2}$
　直线GH的方程为y−0=2((x−$\frac{3}{2}$,即2x−y−3=0,所以△ABC欧拉线的方程为2x−y−3=0.故选D,
[归纳总结]三角形的“四心”
(1)外心:垂直平分线的交点，到各顶点的距离相等;
(2)内心:角平分线的交点，到各边的距离相等;
(3)重心:中线的交点，重心将中线分成长度之比为2:1的两条线段;
(4)垂心:高的交点

4.[辽宁沈阳2024高二月考]设m∈R,过定点A的动直线l₁:x+my+1 = 0和过定点B的动直线l₂:mx - y - 2m+3 = 0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的最大值为 ( )
A.3√2
B.6
C.6√2
D.12

答案：
B
[思路导引]根据直线方程求出定点
A,B的坐标，利用直线垂直的条件可证两直线垂直，再对m进行分类讨论，从而求得IPAI+IPBI的最大值.
[解析]对直线l:x+my+1=0,当y=0 时,x=−1,则直线x+m亨+1=0过定点
A(−1,0).
　对直线l2:mx−y−2m+3=0,即m(x−2)−y+3=0,当x=2时,y=3,则直线mx−y−2m+3=0过定点B(2,3).
　当m=0时,如图①,直线l:x=−1,直线l2:y=3,则交点P(−1,3),此时|PA|=3,1PB|=3,
∴|PA|+|PB|=6.
　　　
　当m≠0时,如图②,直线l1的斜率k=−$\frac{1}{m}$,直线l2的斜率k=m.
∵k;k=−1,
∴l1⊥l2,则△PAB是直角三角形,
∴1PA1²+1PB1²=1AB1²=
　(2+1)²+(3−0)²=18,
　又
∵(1PAI+|PBI)²=1PA1²+1PB1²+21PA1∣PB|≤2(IPA1²+∣PBI²)=2×18=36,且IPAI+IPBI＞0,
∴|PA|+|PB|≤6,当且仅当IPA|=
　IPB|=3,即m=0时等号成立,
∴|PA|+|PB|＜6.

∴IPAI+IPBI的最大值为6.故选B.

5.(多选)[广东揭阳2024高二月考]已知直线l₁:ax+2y+3a = 0和直线l₂:3x+(a - 1)y+7 - a = 0,则下列说法正确的是 ( )
A.当a = 2/5时,l₁⊥l₂
B.当a = - 2时,l₁//l₂
C.直线l₁过定点(- 3,0)
D.当直线l₁,l₂平行时,两直线间的距离为5√13/13

答案： ACD　[解析]对于A,当a=$\frac{2}{5}$时，直线l1:$\frac{2}{5}$x+2y+$\frac{6}{5}$=0,直线l2:3x−y3+7−$\frac{2}{5}$=0,此时两直线的斜率分别为k1=−$\frac{1}{5}$和k2=5,所以k1.k2=
　−1,所以l1⊥,故A选项正确
　对于B,当a=−2时,直线l1:x−y+3=
　0,直线l2:x−y+3=0,此时两直线重合，故B选项错误
　对于C,由直线l1:ax+2y+3a=0,整理可得a(x+3)+2y=0,故直线lI过定点(−3,0),故C选项正确
　对于D,当直线l,l平行时,a(α−1)=6,解得a=3或a=−2,
　当a=−2时,两直线重合,舍去;当α=
　3时,直线l的方程为3x+2y+9=0,l2 的方程为3x+2y+4=0,
　此时两直线间的距离d=$\frac{19−41}{\sqrt{3²+22}}$=
　$\frac{5\sqrt{13}}{13}$,故D选项正确.故选ACD.

6.[北京第八中学2024高二期中]已知A(3, - 1),B(5, - 2),点P在直线x+y = 0上,若使|PA|+|PB|取最小值,则点P的坐标是 .

答案：
($\frac{13}{5}$,−$\frac{13}{5}$　[解析]如图所示.因为点A(3,−1)关于直线x+y=0的对称点为E(1,−3),所以1PA1+1PB1=
　IPEI+IPBI≥|EBI.当点E,P,B三点共线时取等号.又B(5,−2),则直线
BE的方程为$\frac{y+3}{−2+3}$=$\frac{x−1}{5−1}$,即x−4y−13=0.
　联立{xx−+y4y=−01,3=0,解得xy==$\frac{13}{5}$−$\frac{13}{5}$,,所以使IPAI+IPBI取最小值的点P的坐标是$\frac{13}{5}$,−$\frac{13}{5}$).
　　　

7.已知直线x+2y = 2分别与x轴,y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值为 .

答案： $\frac{1}{2}$　[解析]直线方程可化为$\frac{x}{2}$+y=
　1,故直线与x轴的交点为A(2,0),与y轴的交点为B(0,1).
　由动点P(a,b)在线段AB上,可知0≤b≤1且a+2b=2,所以a=2−2b,故ab=(2−2b).b=−2b²+2b=
　−2(b−$\frac{1}{2}$2+21
　因为0≤b≤1,所以当b=$\frac{1}{2}$时,ab取得最大值$\frac{1}{2}$

8.[湖北武汉华师一附中2024高二期中]已知△ABC的顶点A(4,1),边AB上的高线CH所在的直线方程为x+y - 1 = 0,边AC上的中线BM所在的直线方程为3x - y - 1 = 0.
(1)求点B的坐标;
(2)求直线BC的方程.

答案：
[解]
(1)由边AB上的高线CH所在的直线方程为x+y−1=0,得直线AB的斜率为1,又A(4,1),
　所以直线AB的方程为y−1=x−4,即y=x−3.
　由{y3x=−xy−−31,=0,解得{xy==−−41,,所以点B 的坐标是(−1,−4).
　　　　
(2)由点C在直线x+y−1=0上,可设点C(a,1−a),于是边AC的中点M2+$\frac{a}{2}$,1−$\frac{a}{2}${在直线3x−y−1=
　0上,
　因此6+$\frac{3a}{2}$−1+$\frac{a}{2}$−1=0,解得a=−2,即得点C(−2,3),所以直线BC的斜率k=$\frac{−4−3}{−1−(−2)}$−7,
　所以直线BC的方程为y−3=−7(x+2),即7x+y+11=0.

9.[清华大学2021领军计划]已知二元函数f(x,y)=√(4y² - 12y+10)+√(18x² - 18x+5)+√(18x²+4y² - 12xy+6x - 4y+1)的最小值为a,则8a² = .

答案： 80　[解析]∮(x,y)=　$\sqrt{(2y−3)²+1²}$+$\sqrt{(3x−2)²+(3x−1)²}$+
　　$\sqrt{(3x−2y+1)²+(3x)²}$
　设点A(3x,3x),B(2y−1,0),C(2,1).则∮(x,y)=|AB|+|BCI+ICAI,这是经典的将军饮马问题
　点C关于直线y=x与x轴的对称点分别为(1,2)与(2,−1),
　可得f(x,y)≥　$\sqrt{(2+1)²+(1−2)²}$=
　　$\sqrt{10}$,故8a²=80.