《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1. 已知定点$F_1(-4,0)$，$F_2(4,0)$，动点$P$满足$|PF_1| + |PF_2| = t + \frac{17}{t}(t ＞ 0)$，则点$P$的轨迹是（ ）
A. 椭圆
B. 椭圆或射线
C. 椭圆或线段
D. 不存在

答案： A　[解析]因为t＞0,所以|PF₁|+|PF₂|=t + $\frac{17}{t}$≥2$\sqrt{t\cdot\frac{17}{t}}$=2$\sqrt{17}$＞8=|F₁F₂|，当且仅当t = $\sqrt{17}$时取等号，所以点P的轨迹是以F₁,F₂为焦点的椭圆.故选A.

2. [安徽马鞍山二中2023高二期中]点$F$是椭圆$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{3} = 1$的一个焦点，点$P$在椭圆上，线段$PF$的中点为$N$，且$|ON| = 2$（$O$为坐标原点），则线段$PF$的长为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. $2\sqrt{3}$

答案：
A　[解析]如图所示，不妨设F为左焦点,F₁为右焦点，连接PF₁.
∵N为PF的中点,且|ON| = 2,
∴|PF₁| = 4.由椭圆方程可知,2a = 6,根据椭圆定义有|PF|+|PF₁| = 2a = 6,
∴|PF| = 2.故选A.

3. [江西师大附中2024高二期中]已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，过$F_2$的直线$l$交$C$于$A,B$两点，则$\triangle AF_1B$的周长为（ ）
A. 2
B. 4
C. $2\sqrt{3}$
D. $4\sqrt{3}$

答案： D　[解析]由a² = 3得a = $\sqrt{3}$，则由椭圆的定义可知，△AF₁B的周长为|AF₁|+|BF₁|+|AB| = |AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂| = (|AF₁|+|AF₂|)+(|BF₁|+|BF₂|) = 2a + 2a = 4a = 4$\sqrt{3}$.故选D.

4. [教材变式][福建厦门2024高二月考]一个动圆与圆$C_1:x^{2}+(y + 3)^{2}=1$外切，与圆$C_2:x^{2}+(y - 3)^{2}=81$内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A. $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{16} = 1$
B. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$
C. $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{9} = 1$
D. $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

答案： A　[解析]设动圆半径为r,圆心为M,根据题意可知,C₁(0,−3),r₁ = 1，C₂(0,3),r₂ = 9，|MC₁| = 1 + r,|MC₂| = 9 - r,|C₁C₂| = 3 - (-3)=6,|MC₁|+|MC₂| = 9 - r + 1 + r = 10＞6，故动圆圆心的轨迹为焦点在y轴上的椭圆,且焦点坐标为C₁(0,−3)和C₂(0,3),其中2a = 10,a = 5,2c = |C₁C₂| = 6,c = 3,所以b² = a² - c² = 25 - 9 = 16，故动圆圆心的轨迹方程为$\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{16}$=1，故选A.
[链接教材]这道题目是将教材上的P177第12题改编得到的，以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义和轨迹方程，熟练掌握椭圆的定义是解题关键,基本的解题思路是利用动圆分别与两圆外切和内切的位置关系，可得动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再根据它们的数量关系结合圆锥曲线的定义，即可判断轨迹为椭圆，并求出轨迹方程

5. [广东广州育才中学2024高二期中]方程$\sqrt{(x - 4)^{2}+y^{2}} + \sqrt{(x + 4)^{2}+y^{2}} = 10$的化简结果是（ ）
A. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$
B. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$
C. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$
D. $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{5} = 1$

答案： B　[解析]根据题意可知，方程所表示的是点(x,y)到定点(4,0)和(-4,0)的距离之和为10，且10＞4 + 4，则由椭圆定义可得，方程可化简为$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}$=1.故选B.

6. 焦点在$x$轴上，焦距等于$4$，且经过点$P(6,0)$的椭圆的标准方程是________。

答案： $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{32}$=1　[解析]由已知得2c = 4,a = 6,所以c = 2,则b² = a² - c² = 36 - 4 = 32,所以椭圆的标准方程是$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{32}$=1.

7. 设$F_1,F_2$分别是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$的左、右焦点，点$P$在椭圆上，且$PF_1 \perp PF_2$，$|PF_1|\cdot|PF_2| = 2$。若$a = 2b$，则椭圆的标准方程为________。

答案： $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}$=1　[解析]
∵a = 2b,b² + c² = a²,
∴c² = 3b².又PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|² = (2c)² = 12b².由椭圆定义可知|PF₁|+|PF₂| = 2a = 4b，
∴(|PF₁|+|PF₂|)² = 12b² + 4 = 16b²，
∴b² = 1,a² = 4,
∴椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}$=1.
[归纳总结]求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后根据条件建立关于a,b的方程(组).如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx²+ny² = 1 (m＞0,n＞0,m≠n)的形式.

8. [北京交通大学附属中学2024高二月考]若$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a + 2} = 1$表示焦点在$x$轴上的椭圆，则实数$a$的取值范围是（ ）
A. $(-2, +\infty)$
B. $(-\infty, -1)\cup(2, +\infty)$
C. $(-2, -1)\cup(2, +\infty)$
D. $R$

答案： C　[解析]由题意得$\begin{cases}a^{2}＞a + 2,\\a + 2＞0,\\a≠0,\end{cases}$解得-2＜a＜-1或a＞2，即a∈(-2,-1)∪(2,+∞).故选C.

9. [吉林省实验中学2023高二期中]已知$F_1,F_2$分别为椭圆$\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$的左、右焦点，点$P$在椭圆上，且$\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2} ＜ 0$，则点$P$横坐标的取值范围是（ ）
A. $(-2, -\frac{4\sqrt{2}}{3})\cup(\frac{4\sqrt{2}}{3}, 2)$
B. $(-\frac{2\sqrt{6}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3})$
C. $[-\frac{4\sqrt{2}}{3}, \frac{4\sqrt{2}}{3}]$
D. $[-2, -\frac{2\sqrt{6}}{3})\cup(\frac{2\sqrt{6}}{3}, 2]$

答案： B　[解析]由椭圆方程得F₁(-$\sqrt{3}$,0),F₂($\sqrt{3}$,0)，设P(x₀,y₀)，则$\overrightarrow{PF_{1}}$=(-$\sqrt{3}$-x₀,-y₀),$\overrightarrow{PF_{2}}$=($\sqrt{3}$-x₀,-y₀)，所以$\overrightarrow{PF_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}$=(-$\sqrt{3}$-x₀,-y₀)·($\sqrt{3}$-x₀,-y₀)=x₀² + y₀² - 3. ①又点P在椭圆上，则$\frac{x_{0}^{2}}{4}+y_{0}^{2}$=1，即y₀² = 1 - $\frac{x_{0}^{2}}{4}$，代入①得$\overrightarrow{PF_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}$=x₀² - 3 + 1 - $\frac{x_{0}^{2}}{4}$=$\frac{3x_{0}^{2}}{4}$-2＜0，所以-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$＜x₀＜$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，故选B.

10. 已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$，点$M$与椭圆$C$的焦点不重合。若$M$关于椭圆$C$的焦点的对称点分别为$A,B$，线段$MN$的中点在椭圆$C$上，则$|AN| + |BN| =$________。

答案：
12　[解析]如图,不妨设F₁,F₂分别为椭圆C的左、右焦点，点M关于F₁的对称点为A，点M关于F₂的对称点为B.设线段MN的中点为P，连接PF₁,PF₂，则由F₁是AM的中点，可知|AN| = 2|PF₁|.

同理可得|BN| = 2|PF₂|.
∴|AN|+|BN| = 2(|PF₁|+|PF₂|).
根据椭圆的定义得|PF₁|+|PF₂| = 2a = 6,
∴|AN|+|BN| = 12.