《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1. (多选)[江苏扬州中学2024高二月考]在下列四个说法中,错误的有 ( )
A. 在平面直角坐标系内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B. 直线的倾斜角的取值范围是[0,π)
C. 若一条直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为α
D. 若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α

答案： ACD 【解析】对于 A：当直线与 x 轴垂直时，直线的倾斜角为 90°，斜率不存在，所以 A 错误；
对于 B：根据直线倾斜角的定义，可得直线倾斜角的取值范围是[0,π)，所以 B 正确；
对于 C：一条直线的斜率为 tanα，此直线的倾斜角不一定为α，如直线 y = x 的斜率为 1 = tan\frac{5π}{4}，但它的倾斜角为\frac{π}{4}，所以 C 错误；
对于 D：一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为 tanα或不存在，所以 D 错误.
故选 ACD.

2. 过两点(-3,2)和(2,-1)的直线的斜率为 ( )
A. $\frac{6}{5}$
B. $\frac{3}{5}$
C. $-\frac{6}{5}$
D. $-\frac{3}{5}$

答案： D 【解析】所求直线的斜率 k = $\frac{-1 - 2}{2 - (-3)} = -\frac{3}{5}$. 故选 D.

3. (多选)如图,设直线l,m,n的斜率分别为k₁,k₂,k₃,则 ( )

A. k₂＞k₃
B. k₂＜k₁
C. k₂＜k₃
D. |k₂|＞k₁

答案： BCD 【解析】由题图可知直线 l,m,n 的倾斜角分别为锐角、钝角、钝角，所以 k₁＞0,k₂＜0,k₃＜0.
又直线 m 最陡峭，则|k₂|＞|k₃|,|k₂|＞|k₁| = k₁，
所以 k₂＜k₁,k₂＜k₃,|k₂|＞k₁. 故选 BCD.

4. [广东佛山南海区2023高二学业水平测试]已知直线l₁的斜率为√3,直线l₂的倾斜角是直线l₁的倾斜角的2倍,则直线l₂的斜率为 ( )
A. √3
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. -√3

答案： D 【解析】设直线 l₁的倾斜角为α，因为直线 l₁的斜率为$\sqrt{3}$，所以 tanα = $\sqrt{3}$，所以倾斜角α = 60°，所以直线 l₂的倾斜角为 2α = 120°，则斜率 k = tan120° = -$\sqrt{3}$. 故选 D.

5. [河北石家庄2023高二期中]已知两点A(-2,-1),B(1,1),直线l过点P(0,-2)且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是 ( )
A. $[-\frac{1}{2},3]$
B. $[-\frac{3}{2},3]$
C. $(-\infty ,-\frac{3}{2}]\cup [3,+\infty )$
D. $(-\infty ,-\frac{1}{2}]\cup [3,+\infty )$

答案：
D 【解析】如图所示，因为 A(-2,-1),B(1,1),P(0,-2)，所以 kₚₐ = $\frac{-1 - (-2)}{-2 - 0} = -\frac{1}{2}$,kₚ₈ = $\frac{1 - (-2)}{1 - 0} = 3$.
又因为直线 l 过点 P(0,-2)且与线段 AB 相交，所以直线 l 的斜率需满足 k≥3 或 k≤-$\frac{1}{2}$，即 k∈(-∞,-$\frac{1}{2}$]∪[3,+∞). 故选 D.

6. [福建福清2024高二月考]已知实数x,y满足方程x+2y=6,当1≤x≤2时,$\frac{y - 1}{x - 3}$的取值范围为 .

答案：
[-1,-$\frac{3}{4}$] 【解析】由方程 x + 2y = 6，令 x = 1，解得 y = $\frac{5}{2}$，令 x = 2，解得 y = 2. 设 A(1,$\frac{5}{2}$),B(2,2). $\frac{y - 1}{x - 3}$的几何意义是过动点(x,y)与定点 C(3,1)的直线的斜率，则问题等价于过点 C 与线段 AB 相交的直线的斜率 k 的取值范围.
如图所示，直线 AC 的斜率 kₐₙ = $\frac{\frac{5}{2} - 1}{1 - 3} = -\frac{3}{4}$，直线 BC 的斜率 k₈ₙ = $\frac{2 - 1}{2 - 3} = -1$，即 k∈[-1,-$\frac{3}{4}$].

7. 已知a=(1,3)是直线l的一个方向向量,点A(2,7)和点B(-1,y)均在直线l上,则y的值为 ( )
A. -9
B. 10
C. 4
D. -2

答案： D 【解析】由题意可知，$\overrightarrow{AB}$ = (-1 - 2,y - 7) = (-3,y - 7) = λα = (λ,3λ),λ∈R，且λ≠0，解得λ = -3,y = -2，故选 D.

8. [辽宁沈阳2024高二期末]已知直线l过点$(0,-\frac{\sqrt{3}}{3})$和点$(-\frac{1}{3},0)$,则下列说法正确的是 ( )
A. 直线l的倾斜角为120°
B. 直线l的倾斜角为150°
C. 直线l的方向向量可以为(-√3,1)
D. 直线l的方向向量可以为(3√3,-3)

答案： A 【解析】由题意得直线 l 的斜率 k = $\frac{-\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{3}} = -\sqrt{3}$，设直线 l 的倾斜角为θ，0°≤θ＜180°，则 tanθ = -$\sqrt{3}$，故θ = 120°，故 A 正确，B 错误；
当直线的方向向量为(-$\sqrt{3}$,1)时，其斜率为-$\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$，故 C 错误；
当直线的方向向量为(3$\sqrt{3}$,-3)时，其斜率为-$\frac{3}{3\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$，故 D 错误. 故选 A.

9. 若直线l的一个方向向量$a = (\sin\frac{\pi}{7},\cos\frac{\pi}{7})$,则直线l的倾斜角θ= .

答案： $\frac{5π}{14}$ 【解析】
∵直线 l 的一个方向向量 a = (sin$\frac{π}{7}$,cos$\frac{π}{7}$)，
∴直线 l 的斜率 k = $\frac{cos\frac{π}{7}}{sin\frac{π}{7}} = \frac{sin(\frac{π}{2} - \frac{π}{7})}{cos(\frac{π}{2} - \frac{π}{7})} = \frac{sin\frac{5π}{14}}{cos\frac{5π}{14}} = tan\frac{5π}{14}$，
∴直线 l 的倾斜角θ = $\frac{5π}{14}$.

10. 已知直线l的方向向量为(1,5),则直线l的法向量为 ( )
A. (5,1)
B. (-1,5)
C. (5,-1)
D. (-5,-1)

答案： C

11. 已知直线l的一个法向量是$n = (\sqrt{3},-1)$,则l的倾斜角的大小是 .

答案：