《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1. [山东青岛2024高二月考]以下说法中，不正确的个数为 ( )
①“|a|-|b|=|a+b|”是“a,b共线”的充要条件；
②若a//b,则存在唯一的实数λ，使得a=λb;
③若a·b=0,b·c=0,则a=c;
④若{a,b,c}为空间的一个基底，则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底；
⑤|(a·b)·c|=|a|·|b|·|c|.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

答案： C

2. [北京北师大附中2023高二期中]已知直线l的一个方向向量为v，平面α的一个法向量为n，平面β的一个法向量为m，则下列说法正确的是 ( )
①若〈v,n〉=30°，则l与α所成的角为30°；
②若l与α所成角为60°，则〈v,n〉=30°；
③若〈m,n〉=60°，则平面α与β所成的锐二面角为60°；
④若平面α与β的夹角为60°，则〈m,n〉=60°.
A. ③ B. ①③
C. ②④ D. ①③④

答案： A

3. [湖北武汉2024高二期中联考]如图，空间四边形OABC中，$\overrightarrow{OA}=a$，$\overrightarrow{OB}=b$，$\overrightarrow{OC}=c$，点M在OA上，点N在BC上，OM = 2MA，2BN = 3NC，则$\overrightarrow{MN}$= ( )

A. $-\frac{1}{3}a-\frac{2}{5}b+\frac{3}{5}c$ B. $-\frac{2}{3}a+\frac{3}{5}b+\frac{2}{5}c$
C. $-\frac{2}{3}a+\frac{2}{5}b+\frac{3}{5}c$ D. $\frac{2}{3}a+\frac{3}{5}b-\frac{2}{5}c$

答案： C

4. [陕西师范大学附属中学2024高二月考]已知空间中三点A(-1,0,0)，B(0,1,-1)，C(-2,-1,2)，则点C到直线AB的距离为 ( )
A. $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： A

5. [浙江湖州2024高二期中]点P是棱长为1的正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁的底面ABCD上一点，则$\overrightarrow{PA_{1}}\cdot\overrightarrow{PC}$的取值范围是 ( )
A. $[-1,-\frac{1}{2}]$ B. $[-1,-\frac{1}{4}]$
C. [-1,0] D. $[-\frac{1}{2},0]$

答案：
$x\leq1,0\leq y\leq1,A_1(0,0,1),C(1,1,0),\overrightarrow{PA_1}\cdot\overrightarrow{PC}=(-x,-y,1)\cdot(1 - x,1 - y,0)=x^2 - x + y^2 - y=(x - \frac{1}{2})^2+(y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}$，因为$0\leq x\leq1,0\leq y\leq1$，所以当$x = \frac{1}{2},y = \frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{PA_1}\cdot\overrightarrow{PC}$有最小值$-\frac{1}{2}$，当$x = 1,y = 1$或$x = 1,y = 0$或$x = 0,y = 1$或$x = 0,y = 0$时，$\overrightarrow{PA_1}\cdot\overrightarrow{PC}$都取得最大值$0$，因此$\overrightarrow{PA_1}\cdot\overrightarrow{PC}$的取值范围为$[-\frac{1}{2},0]$，故选D.

6. 如图所示，已知P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA = AD = AC，F为PC的中点，则二面角C - BF - D的正切值为 ( )

A. $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B. $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

答案：
6.D【解析】如图，设$BD$与$AC$交于点$O$，连接$OF$.

∵四边形$ABCD$为菱形，
∴$O$为$AC$的中点，$AC\perp BD$.
∵$F$为$PC$的中点，
∴$OF// PA$.
∵$PA\perp$平面$ABCD$，
∴$OF\perp$平面$ABCD$.以$O$为原点，$OB,OC,OF$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴建立空间直角坐标系$Oxyz$.设
则$\begin{cases}\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AC}=2x + 2\sqrt{2}y = 0\\\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AM}=\sqrt{2}y + z = 0\end{cases}$，取$x = \sqrt{2}$，则$\boldsymbol{m}=(\sqrt{2},-1,\sqrt{2})$.
设$\overrightarrow{SP}=\lambda\overrightarrow{SC}=\lambda(2,2\sqrt{2},-2)=(2\lambda,2\sqrt{2}\lambda,-2\lambda)$，其中$0\leq\lambda\leq1$，
$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{SP}=(0,0,2)+(2\lambda,2\sqrt{2}\lambda,-2\lambda)=(2\lambda,2\sqrt{2}\lambda,2 - 2\lambda)$.
因为直线$AP$与平面$AMC$所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
所以$\vert\cos\langle\overrightarrow{AP},\boldsymbol{m}\rangle\vert=\frac{\vert\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AP}\vert}{\vert\boldsymbol{m}\vert\vert\overrightarrow{AP}\vert}=\frac{\vert2\sqrt{2}(1 - \lambda)\vert}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{16\lambda^2 - 8\lambda + 4}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，解得$\lambda=\frac{1}{2}$，故$\frac{SP}{SC}=\frac{1}{2}$.
$PA = AD = AC = 1$，则$BD = \sqrt{3}$，
∴$B(\frac{\sqrt{3}}{2},0,0),F(0,0,\frac{1}{2}),C(0,\frac{1}{2},0),D(-\frac{\sqrt{3}}{2},0,0)$，
∴$\overrightarrow{OC}=(0,\frac{1}{2},0)$，结合图形可知，$\overrightarrow{OC}$为平面$BDF$的一个法向量.由$\overrightarrow{BC}=(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0),\overrightarrow{FB}=(\frac{\sqrt{3}}{2},0,-\frac{1}{2})$，可求得平面$BCF$的一个法向量$\boldsymbol{n}=(1,\sqrt{3},\sqrt{3})$.
∴$\cos\langle\boldsymbol{n},\overrightarrow{OC}\rangle=\frac{\sqrt{21}}{7}$，又二面角$C - BF - D$为锐二面角，
∴$\sin\langle\boldsymbol{n},\overrightarrow{OC}\rangle=\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴$\tan\langle\boldsymbol{n},\overrightarrow{OC}\rangle=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

7. [重庆杨家坪中学2024高二月考]如图，已知正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁的棱长为4，P是AA₁的中点，$\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AA_{1}}$，$\lambda\in[0,1]$，$\mu\in[0,1]$.若D₁M⊥CP，则△BCM面积的最小值为 ( )

A. 4 B. 8
C. $\frac{8\sqrt{5}}{5}$ D. $8\sqrt{2}$

答案：
7.C【解析】由$\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AA_1},\lambda,\mu\in[0,1]$，知点$M$在平面$ABB_1A_1$内.
以$A$为原点，$AB,AD,AA_1$所在直线分别为$x,y,z$轴建立空间直角坐标系，如图所示.

则$P(0,0,2),C(4,4,0),D_1(0,4,4)$，设$M(a,0,b),a,b\in[0,4]$，则$\overrightarrow{D_1M}=(a,-4,b - 4),\overrightarrow{CP}=(-4,-4,2)$，
由$D_1M\perp CP$，得$\overrightarrow{D_1M}\cdot\overrightarrow{CP}=-4a + 16 + 2b - 8 = 0$，即$b = 2a - 4$.
取$AB$的中点$N$，连接$B_1N$，则点$M$的轨迹为线段$B_1N$，过点$B$作$BQ\perp B_1N$，垂足为$Q$，连接$CQ$，
则$BQ=\frac{BB_1\cdot BN}{B_1N}=\frac{4\times2}{\sqrt{2^2 + 4^2}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$.
又$BC\perp$平面$ABB_1A_1$，$BQ\subset$平面$ABB_1A_1$，故$BC\perp BQ$，
所以$S_{\triangle BCM}$的最小值为$S_{\triangle QBC}=\frac{1}{2}\times4\times\frac{4\sqrt{5}}{5}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$.故选C.

8. [吉林东北师大附中2023调研]在四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AB//CD，2AB = BC = CD，BC⊥CD，侧面A₁ABB₁为正方形，设点O为四棱锥A₁ - CC₁D₁D外接球的球心，E为DD₁上的动点，则直线AE与OB所成角中最小角的正弦值为 ( )
A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ C. $\frac{2\sqrt{6}}{5}$ D. $\frac{1}{5}$

答案：
8.D【解析】由题意可知$CD,CB,CC_1$两两相互垂直，如图所示，以$C$为原点，$CD,CB,CC_1$所在直线分别为$x,y,z$轴建立空间直角坐标系.

设$AB = 1$，则$A(1,2,0),C(0,0,0),B(0,2,0),A_1(1,2,1)$，
又球心$O$必在过长方形$CDD_1C_1$中心的直线上，故球心$O$在平面$CDD_1C_1$上的射影坐标为$(1,0,\frac{1}{2})$.则可设球心$O(1,h,\frac{1}{2})$，则$OA_1 = OC$，
即$\sqrt{(1 - 1)^2+(h - 2)^2+(\frac{1}{2} - 1)^2}=\sqrt{1^2+h^2+(\frac{1}{2})^2}$，解得$h = \frac{3}{4}$，则$O(1,\frac{3}{4},\frac{1}{2})$.
设$E(2,0,a),a\in[0,1],\overrightarrow{EA}=(-1,2,-a),\overrightarrow{OB}=(-1,\frac{5}{4},-\frac{1}{2})$，
$\vert\cos\langle\overrightarrow{EA},\overrightarrow{OB}\rangle\vert=\frac{\vert\overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{OB}\vert}{\vert\overrightarrow{EA}\vert\vert\overrightarrow{OB}\vert}=\frac{1+\frac{5}{2}+\frac{1}{2}a}{\sqrt{a^2 + 5}\cdot\frac{3\sqrt{5}}{4}}=\frac{\frac{7}{2}+\frac{1}{2}a}{\sqrt{a^2 + 5}\cdot\frac{3\sqrt{5}}{4}}=\frac{14 + 2a}{3\sqrt{5}\times\sqrt{a^2 + 5}}$.
设$7 + a = t$，则$a = t - 7,t\in[7,8]$，则$\frac{14 + 2a}{3\sqrt{5}\times\sqrt{a^2 + 5}}=\frac{2t}{3\sqrt{5}\times\sqrt{t^2 - 14t + 54}}=\frac{2}{3\sqrt{5}\times\sqrt{54(\frac{1}{t}-\frac{7}{54})^2+\frac{5}{54}}}$，
当$t = \frac{54}{7}$时，$\vert\cos\langle\overrightarrow{EA},\overrightarrow{OB}\rangle\vert$有最大值，为$\frac{2}{3\sqrt{5}\times\sqrt{\frac{5}{54}}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$，此时直线$AE$与$OB$所成的角最小，对应的正弦值为$\sqrt{1 - (\frac{2\sqrt{6}}{5})^2}=\frac{1}{5}$.故选D.