《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1. 设圆C与圆x² + (y - 3)² = 1外切，与直线y = 0相切，则圆C的圆心轨迹为 （ ）
A. 抛物线
B. 双曲线
C. 椭圆
D. 圆

答案： 1.A　[解析]由题意知，圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y = 0的距离大1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y = -1的距离相等，根据抛物线的定义知，所求轨迹是抛物线.

2. 已知抛物线y² = 2px(p＞0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2√2，则p = （ ）
A. 2
B. 2或4
C. 1或2
D. 1

答案： 2.B　[解析]因为抛物线y² = 2px(p＞0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2√2，所以{|y_M| = 2√2,x_M + p/2 = 3}，即{|y_M| = 2√2,x_M = 3 - p/2}，代入抛物线方程可得8 = 2p(3 - p/2)，整理得p² - 6p + 8 = 0，解得p = 2或p = 4.故选B.

3. [福建厦门2024高二期中]已知抛物线y² = 4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N. 若|BC| = 2|BN|，则△AFM的面积为 （ ）
A. 4√3
B. 4
C. 2√3
D. 2

答案：
3.A　[解析]由题意可知，p = 2，则F(1,0)，抛物线的准线方程为x = -1，则|BF| = |BN|，|AF| = |AM|.因为|BC| = 2|BN|，所以|BC| = 2|BF|，所以|BC|/|CF| = 2/3，所以|BN|/p = 2/3，所以|BN| = |BF| = 4/3，|BC| = 8/3，所以|CF| = 4.因为p/|AM| = |CF|/|CA|，所以2/|AM| = |CF|/(|CF| + |AF|) = 4/(4 + |AF|) = 4/(4 + |AM|)，解得|AM| = 4，所以|AF| = 4，点F到AM的距离为√(4² - 2²) = 2√3，所以S_△AFM = 1/2×4×2√3 = 4√3.
[多种解法]在Rt△BCN中，因为|BC| = 2|BN|，所以∠BCN = 30°，则∠CAM = 60°.又|AM| = |AF|，所以△AFM为等边三角形.易得|AM| = 4，所以S_△AFM = √3/4×4² = 4√3.故选A.
　　　

4. [陕西西安长安区第一中学2024期中]已知抛物线C:y² = 4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为A，点P在抛物线C上，且PA⊥PF，则|PF|/2 = （ ）
A. (√5 - 1)/2
B. √5 - 2
C. √5 - 1
D. 3 - √5

答案： 4.A　[解析]点P在抛物线C:y² = 4x上，故设P(y₀²/4,y₀)，又抛物线的焦点为F(1,0)，准线为直线x = -1，故A(-1,0).
∵PA⊥PF，
∴PA→·PF→ = 0，而PA→ = (-1 - y₀²/4,-y₀)，PF→ = (1 - y₀²/4,-y₀)，
∴(-1 - y₀²/4,-y₀)·(1 - y₀²/4,-y₀) = 0，整理得y₀⁴/16 - 1 + y₀² = 0，解得y₀² = 4√5 - 8.
∴点P的横坐标为y₀²/4 = √5 - 2.根据抛物线的定义，得|PF| = √5 - 2 + 1 = √5 - 1，
∴|PF|/2 = (√5 - 1)/2.故选A.

5. (多选)已知抛物线C₁:y² = mx(m＞0)与双曲线C₂:x² - y²/3 = 1有相同的焦点，点P(2,y₀)在抛物线C₁上，则下列结论正确的有 （ ）
A. 双曲线C₂的离心率为2
B. 双曲线C₂的渐近线方程为y = ±√3/3x
C. m = 8
D. 点P到抛物线C₁的焦点的距离为4

答案： 5.ACD　[解析]双曲线C₂的离心率e = √(1 + 3)/1 = 2，故A正确；双曲线C₂的渐近线方程为y = ±√3x，故B错误；由C₁,C₂有相同的焦点，得m/4 = 2，解得m = 8，故C正确；抛物线y² = 8x的焦点为(2,0)，点P(2,y₀)在C₁上，则y₀ = ±4，故P(2,4)或P(2,-4)，所以点P到C₁的焦点的距离为4，故D正确.故选ACD.

6. (多选)[江苏徐州2024高二期中]已知抛物线y² = 4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的有 （ ）
A. 抛物线的准线方程是x = -1
B. 当PF⊥x轴时，|PF|取最小值
C. 若A(2,3)，则|PA| + |PF|的最小值为√10
D. 以线段PF为直径的圆与y轴相切

答案：
6.ACD　[解析]对于A，抛物线的准线方程为x = -4/4 = -1，故A正确；对于B，设P(x₀,y₀)，则x₀≥0，y₀² = 4x₀，F(1,0)，则|PF| = √((x₀ - 1)² + y₀²) = x₀ + 1≥1，当x₀ = 0时取得最小值，此时P(0,0)在原点，故B错误；对于C，A在抛物线外部，如图①所示，故当P,A,F三点共线，且点P在线段AF与抛物线的交点处时，|PA| + |PF|取得最小值，为|AF| = √((2 - 1)² + (3 - 0)²) = √10，故C正确；

对于D，过点P作准线的垂线，垂足为Q，如图②所示，设P(m,n)，PF的中点为B(x₁,y₁)，可得x₁ = 1/2(1 + m)，由抛物线的定义得|PF| = |PQ| = m + 1，
∴x₁ = 1/2|PF|，即点B到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径，因此，以PF为直径的圆与y轴相切，故D正确.故选ACD.
　　　

7. [河南驻马店2024高二期中]设F为抛物线y² = 8x的焦点，A，B，C为该抛物线上不同的三点，若$\overrightarrow{FA} + \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{FC} = \overrightarrow{0}$，O为坐标原点，则|FA| + |FB| + |FC| = ________.

答案： 7.14　[解析]设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，C(x₃,y₃)，易知p = 4，F(2,0)，则FA→ = (x₁ - 2,y₁)，FB→ = (x₂ - 2,y₂)，FC→ = (x₃ - 2,y₃).因为FA→ + FB→ + FC→ = OF→，所以x₁ - 2 + x₂ - 2 + x₃ - 2 = 2，即x₁ + x₂ + x₃ = 8.由抛物线的定义可得|FA→| = x₁ + 2，|FB→| = x₂ + 2，|FC→| = x₃ + 2，所以|FA→| + |FB→| + |FC→| = x₁ + x₂ + x₃ + 6 = 14.

8. [江西师大附中2024高二期中]已知F是抛物线y² = 8x的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标为(-2,0)，则|PF|/|PA|的最小值是________.

答案： 8.√2/2　[解析]由抛物线方程y² = 8x可得焦点F的坐标为(2,0)，准线方程为x = -2.设点P的坐标为(x₀,y₀).
∵点P为抛物线上的动点，
∴y₀² = 8x₀(x₀≥0)，且|PF| = x₀ + 2.
∵点A的坐标为(-2,0)，
∴|PA| = √[(x₀ - (-2))² + (y₀ - 0)²] = √((x₀ + 2)² + y₀²) = √((x₀ + 2)² + 8x₀)，
∴|PF|/|PA| = (x₀ + 2)/√((x₀ + 2)² + 8x₀) = √((x₀ + 2)²/((x₀ + 2)² + 8x₀)) = √(1/(1 + 8x₀/((x₀ + 2)²)))，当x₀ = 0时，|PF|/|PA| = 1；当x₀＞0时，8x₀/((x₀ + 2)²) = 8/(x₀ + 4/x₀ + 4)≤8/(2√(x₀·4/x₀) + 4) = 1，当且仅当x₀ = 2时等号成立，即8x₀/((x₀ + 2)²)≤1，所以|PF|/|PA|≥√2/2.综上可得，|PF|/|PA|的最小值是√2/2.

9. 抛物线C:y² = 2px(p＞0)与椭圆E:x²/a² + y²/b² = 1(a＞b＞0)有相同的焦点F，两条曲线在第一象限内的交点为A，直线OA的斜率为2，则椭圆的离心率为________.

答案： 9.√2 - 1 【解析】设椭圆E的半焦距为c＞0，则p/2 = c，即p = 2c，抛物线C:y² = 4cx. 由题意知，直线OA:y = 2x，联立{y = 2x,y² = 4cx}解得{x = 0,y = 0}或{x = c,y = 2c}，则A(c,2c). 又A(c,2c)在椭圆E:x²/a² + y²/b² = 1(a＞b＞0)上，所以c²/a² + 4c²/b² = 1，则4a²c² + b²c² = a²b²，即4a²c² + (a² - c²)c² = a²(a² - c²)，整理得c⁴ - 6a²c² + a⁴ = 0，即e⁴ - 6e² + 1 = 0，解得e² = 3 - 2√2或e² = 3 + 2√2(舍去)，所以e = √2 - 1或e = 1 - √2(舍去).

10. [吉林白山2024高二月考]在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x + 2y = 3的距离相等的点的轨迹是 （ ）
A. 直线
B. 抛物线
C. 圆
D. 双曲线

答案： 10.A　[解析]
∵点(1,1)在直线x + 2y = 3上，
∴所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x + 2y = 3垂直的直线.
[易错警示]易忽略点与直线的位置关系而错选B，错因在于忽略抛物线定义中的条件“定点在定直线外”

11. 抛物线y = mx²(m≠0)的准线与直线y = 1的距离为3，则此抛物线的方程为 （ ）
A. x² = -16y
B. x² = 8y
C. x² = 16y或x² = -8y
D. x² = 8y或x² = -16y

答案： 11.D　[解析]将y = mx²(m≠0)化为x² = 1/my，其准线方程为y = -1/4m.由题意知-1/4m = -2或-1/4m = 4，解得m = 1/8或m = -1/16.则所求抛物线的标准方程为x² = 8y或x² = -16y.

12. 抛物线x = 1/4my²的焦点坐标是________.

答案： 12.(m,0)　[解析]将方程改写成y² = 4mx，则焦点的横坐标为4m/4 = m，即焦点坐标为(m,0).
[易错警示]认真区分抛物线的方程:
(1)区分y = ax²(a≠0)与y² = 2px(p＞0)，前者不是抛物线的标准方程.
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y² = mx(m≠0)或x² = my(m≠0).