《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1. [江苏盐城2024高二月考]双曲线$y^{2}-\frac{x^{2}}{m}=1$的实轴长是虚轴长的3倍,则m的值为 ( )
A. 9
B. -9
C. $\frac{1}{9}$
D. $-\frac{1}{9}$

答案： C 【解析】由双曲线$y^{2}-\frac{x^{2}}{m}=1$，可得$m ＞ 0$，且$a = 1$，$b=\sqrt{m}$，因为双曲线的实轴长是虚轴长的 3 倍，可得$a = 3b$，即$1 = 3\sqrt{m}$，解得$m=\frac{1}{9}$。故选 C。

2. [宁夏银川2024高二期中]中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线$3x - 4y + 12 = 0$上的等轴双曲线的方程是 ( )
A. $x^{2}-y^{2}=8$
B. $x^{2}-y^{2}=4$
C. $y^{2}-x^{2}=8$
D. $y^{2}-x^{2}=4$

答案： A 【解析】在方程$3x - 4y + 12 = 0$中，令$y = 0$，得$x = - 4$，
∴ 等轴双曲线的一个焦点坐标为$(-4,0)$，
∴$c = 4$，
∴$a^{2}=\frac{1}{2}c^{2}=\frac{1}{2}\times16 = 8$，故选 A。

3. 直线l过圆$M:(x - 4)^{2}+y^{2}=1$的圆心,且与圆相交于A,B两点,P为双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{7}=1$右支上的一个动点,则$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$的最小值为 ( )
A. -2
B. 1
C. 2
D. 0

答案：
D 【解析】圆$M:(x - 4)^{2}+y^{2}=1$，圆心$M(4,0)$，半径为 1。
设$P(x_{0},y_{0})$，$x_{0}\geqslant3$，
则$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MA})\cdot(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MB})=(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MA})\cdot(\overrightarrow{PM}-\overrightarrow{MA})=\overrightarrow{PM}^{2}-\overrightarrow{MA}^{2}=(x_{0}-4)^{2}+y_{0}^{2}-1=(x_{0}-4)^{2}+7\times(\frac{x_{0}^{2}}{9}-1)-1=\frac{16}{9}x_{0}^{2}-8x_{0}+8$，函数$y=\frac{16}{9}x^{2}-8x + 8$的图象的对称轴为直线$x=\frac{9}{4}$，开口向上，
又$x_{0}\geqslant3$，所以当$x_{0}=3$时，$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$取最小值，最小值为$\frac{16}{9}\times9 - 8\times3 + 8 = 0$。故选 D。

4. [重庆巴蜀中学2023高二阶段检测]双曲线$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1$的渐近线方程是 ( )
A. $y=\pm\frac{2}{3}x$
B. $y=\pm\frac{3}{2}x$
C. $y=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}x$
D. $y=\pm\frac{\sqrt{6}}{3}x$

答案： D 【解析】由双曲线的方程为$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1$得$a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$，所以渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{\sqrt{6}}{3}x$。故选 D。

5. 已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点分别为$F_{1},F_{2}$,其渐近线上横坐标为$\frac{1}{2}$的点P满足$\overrightarrow{PF_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=0$,则a = ( )
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 2
D. 4

答案： B 【解析】由题知，双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a ＞ 0,b ＞ 0)$的焦点为$F_{1}(-c,0)$，$F_{2}(c,0)$，渐近线上横坐标为$\frac{1}{2}$的点$P$，不妨取点$P$在第一象限，可得$P(\frac{1}{2},\frac{b}{2a})$。因为$\overrightarrow{PF_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=0$，所以$\frac{1}{4}-c^{2}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}=0$。又$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，联立解得$a=\frac{1}{2}$。故选 B。

6. [河南南阳六校2024高二期中]已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的渐近线方程为$x\pm2y = 0$,且双曲线C过点$(4,1)$,则双曲线C的方程为 ( )
A. $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$
B. $\frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{3}=1$
C. $\frac{x^{2}}{8}-y^{2}=1$
D. $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$

答案： B 【解析】因为双曲线$C$的渐近线方程为$x\pm2y = 0$，所以可设$C$的方程为$x^{2}-4y^{2}=\lambda(\lambda ＞ 0)$，把点$(4,1)$的坐标代入得$\lambda = 4^{2}-4\times1 = 12$，所以双曲线$C$的方程为$x^{2}-4y^{2}=12$，即$\frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{3}=1$。故选 B。

7. [山西太原大学附属中学2023诊断]已知双曲线$E:\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{m}=1$的一条渐近线方程为$3x + 2y = 0$,则下列说法正确的是 ( )
A. E的焦点到渐近线的距离为2
B. m = 6
C. E的实轴长为6
D. E的离心率为$\frac{\sqrt{13}}{2}$

答案： D 【解析】依题意可得$\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{m}}{2}$，解得$m = 9$，故 B 不正确；
$b=\sqrt{m}=3$，$a = 2$，$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{13}$，所以$E$的焦点到渐近线的距离为$\frac{3\sqrt{13}}{\sqrt{3^{2}+2^{2}}}=3$，故 A 不正确；
因为$a = 2$，所以$E$的实轴长$2a = 4$，故 C 不正确；
$E$的离心率为$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{2}$，故 D 正确。故选 D。

8. [辽宁省实验中学2023高二阶段测试]若三个点$(-3,1),(-2,3),(3,-1)$中恰有两个点在双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a＞0)$上,则双曲线C的渐近线方程为________.

答案： $y=\pm\frac{\sqrt{2}}{3}x$ 【解析】因为三个点$(-3,1)$，$(-2,3)$，$(3,-1)$中恰有两个点在双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a ＞ 0)$上，又双曲线的图象关于原点对称，所以点$(-3,1)$，$(3,-1)$在双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a ＞ 0)$上，所以$\frac{9}{a^{2}}-1 = 1$，解得$a=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，所以其渐近线方程为$y=\pm\frac{1}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}x=\pm\frac{\sqrt{2}}{3}x$。

9. 已知$F_{1},F_{2}$分别为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点,过点$F_{2}$作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且$\angle PF_{1}F_{2}=30^{\circ}$,求该双曲线的渐近线方程.

答案： 【解】设$F_{2}(c,0)(c ＞ 0)$，$P(c,y_{0})$，
则$\frac{c^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1$，解得$y_{0}=\pm\frac{b^{2}}{a}$，所以$|PF_{2}|=\frac{b^{2}}{a}$。
在$Rt\triangle PF_{2}F_{1}$中，$\angle PF_{1}F_{2}=30^{\circ}$，
所以$|F_{1}F_{2}|=\sqrt{3}|PF_{2}|$，即$2c=\frac{\sqrt{3}b^{2}}{a}$。①
将$c^{2}=a^{2}+b^{2}$代入①式，
解得$b^{2}=2a^{2}$或$b^{2}=-\frac{2}{3}a^{2}$（舍去），故$\frac{b}{a}=\sqrt{2}$，所以该双曲线的渐近线方程为$y=\pm\sqrt{2}x$。