《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1. 直线$l_1:x - my - 2 = 0$与直线$l_2:mx + y + 2 = 0$交于点$Q$，$m$是实数，$O$为坐标原点，则$|OQ|$的最大值是（ ）
A. 2
B. $2\sqrt{2}$
C. $2\sqrt{3}$
D. 4

答案： B

2. [四川成都2024高二月考]已知点$A(-4,0)$，$B(0,-3)$，点$P(x,y)$在线段$AB$（含端点）上移动，则$\sqrt{(x - 4)^2 + y^2}$的最小值为________.

答案：

3. (多选)[江西抚州一中2024高二月考]2023年动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻、想象力最丰富、艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”. 诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马，再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是$A(2,4)$，军营所在位置为$B(6,2)$，河岸线所在直线的方程为$x + y - 3 = 0$，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短，则（ ）
A. 将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是$6x - y - 8 = 0$
B. 将军在河边饮马的地点的坐标为$(\frac{13}{8},\frac{11}{8})$
C. 将军从河边回军营的路线所在直线的方程是$x - 6y + 6 = 0$
D. “将军饮马”走过的总路程为$5\sqrt{2}$

答案：

因为A(2,4)，所以直线AB'的方程为$y + 3=\frac{4 + 3}{2 - 1}(x - 1)$，即7x - y - 10 = 0，故A错误.
设将军在河边饮马的地点为M，则M即为直线7x - y - 10 = 0与x + y - 3 = 0的交点，联立两直线方程解得$M(\frac{13}{8},\frac{11}{8})$，故B正确.
将军从河边回军营的路线所在直线为直线BM，又B(6,2)，所以直线BM的方程为$y - 2=\frac{\frac{11}{8}-2}{\frac{13}{8}-6}(x - 6)$，即x - 7y + 8 = 0，故C错误.
总路程|MA|+|MB| = |MA|+|MB'| = |AB'| = $\sqrt{(2 - 1)^2+(4 + 3)^2}=5\sqrt{2}$，所以“将军饮马”走过的总路程为$5\sqrt{2}$，故D正确. 故选BD.

4. [河南南阳六校2023高二联考]著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休”. 事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：求$\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$可以转化为求平面上点$M(x,y)$与点$N(a,b)$之间的距离. 结合上述观点，可得$f(x)=\sqrt{x^2 + 8x + 20}+\sqrt{x^2 + 4x + 20}$的最小值为（ ）
A. $\sqrt{29}$
B. $\sqrt{31}$
C. $2\sqrt{10}$
D. $2+\sqrt{13}$

答案：
4. C 【解析】$f(x)=\sqrt{x^2 + 8x + 20}+\sqrt{x^2 + 4x + 20}=\sqrt{(x + 4)^2+(0 - 2)^2}+\sqrt{(x + 2)^2+(0 + 4)^2}$，可以看作平面上点M(x,0)与点A(-4,2)，B(-2,-4)的距离和，如图所示，连接AB，所以$f(x)=|MA|+|MB|\geqslant|AB|=\sqrt{(-4 + 2)^2+(2 + 4)^2}=2\sqrt{10}$，当且仅当A，M，B三点共线时等号成立. 故选C.

5. 已知实数$a$，$b$满足$4a - 2b + 3 = 0$，则$\sqrt{(a - 2)^2 + (b + 2)^2}-\sqrt{(a + 1)^2 + (b - 2)^2}$的最大值为________.

答案：
5. $\sqrt{10}$
【思路导引】
找到两个定点，M(2,-2)，N(-1,2)
原式的几何意义为直线4x - 2y + 3 = 0上一点P到定点M，N的距离之差
点N关于直线4x - 2y + 3 = 0对称的点N'
P，M，N'三点共线时，所求距离之差最大
【解析】由题可知，$\sqrt{(a - 2)^2+(b + 2)^2}-\sqrt{(a + 1)^2+(b - 2)^2}$表示的是直线4x - 2y + 3 = 0上一点P(a,b)到定点M(2,-2)，N(-1,2)的距离之差.
设点N关于直线4x - 2y + 3 = 0对称的点为N'(x_0,y_0)，
则$\begin{cases}\frac{y_0 - 2}{x_0 + 1}=-\frac{1}{2}\\4\times\frac{x_0 - 1}{2}-2\times\frac{y_0 + 2}{2}+3 = 0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x_0 = 1\\y_0 = 1\end{cases}$，当N'，P，M三点共线时，|PM|-|PN'|最大，即|PM|-|PN|最大，所以$\sqrt{(a - 2)^2+(b + 2)^2}-\sqrt{(a + 1)^2+(b - 2)^2}$的最大值为$\sqrt{(2 - 1)^2+(-2 - 1)^2}=\sqrt{10}$.

6. [安徽六安2024高二期中]过定点$A$的直线$(a + 1)x - y + 2 = 0$与过定点$B$的直线$x + (a + 1)y - 4a - 2 = 0$交于点$P(P$与$A$，$B$不重合)，则$\triangle PAB$面积的最大值为（ ）
A. $\sqrt{2}$
B. $2\sqrt{2}$
C. 2
D. 4

答案： 6. C 【解析】动直线(a + 1)x - y + 2 = 0化为y = (a + 1)x + 2，可得定点A(0,2)，动直线x + (a + 1)y - 4a - 2 = 0化为(a + 1)(y - 4)+x + 2 = 0，可得定点B(-2,4).
因为(a + 1)×1 - 1×(a + 1)=0，所以直线(a + 1)x - y + 2 = 0与直线x + (a + 1)y - 4a - 2 = 0垂直，P为交点，所以PA⊥PB，所以|PA|²+|PB|² = |AB|²=(0 + 2)²+(2 - 4)² = 8. 则$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}|PA|\cdot|PB|\leqslant\frac{1}{2}\cdot\frac{|PA|^2+|PB|^2}{2}=2$，当且仅当|PA| = |PB| = 2时，等号成立. 故△PAB面积的最大值为2. 故选C.

7. 在平面直角坐标系$xOy$（$O$为坐标原点）中，不过原点的两直线$l_1:x - my + 2m - 1 = 0$，$l_2:mx + y - m - 2 = 0$的交点为$P$，过点$O$分别向直线$l_1$，$l_2$引垂线，垂足分别为$M$，$N$，则四边形$OMPN$面积的最大值为（ ）
A. 3
B. $\frac{3}{2}$
C. 5
D. $\frac{5}{2}$

答案：
7. D 【解析】将直线l₁的方程变形得x - 1 + m(2 - y)=0，由$\begin{cases}x - 1 = 0\\2 - y = 0\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$，则直线l₁过定点(1,2)，同理可知，直线l₂过定点(1,2)，所以直线l₁和直线l₂的交点P的坐标为(1,2)，由1×m+( - m)×1 = 0可知直线l₁⊥l₂，连接OP.

所以四边形OMPN为矩形，且|OP| = $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$.
设|OM| = a，|ON| = b，则a² + b² = 5，四边形OMPN的面积S = |OM|·|ON| = ab≤$\frac{a^2 + b^2}{2}=\frac{5}{2}$，
当且仅当$\begin{cases}a = b\\a^2 + b^2 = 5\end{cases}$，即$a = b=\frac{\sqrt{10}}{2}$时，等号成立，因此，四边形OMPN面积的最大值为$\frac{5}{2}$，故选D.

8. [山东烟台2024高二月考]已知定点$P(6,4)$与定直线$l_1:y = 4x$，过点$P$的直线$l$与$l_1$交于第一象限点$Q$，与$x$轴正半轴交于点$M$，则使$\triangle OQM$面积最小的直线$l$的方程为________.

答案：
8. x + y - 10 = 0
【思路导引】根据题意，画出平面直角坐标系及点的位置，根据直线l过点P设出直线l的方程，分别求出点Q，M的坐标，从而用代数式表示出△OQM的面积，进而可求出最小值. 注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论.
【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x = 6，由$\begin{cases}x = 6\\y = 4x\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 6\\y = 24\end{cases}$，即Q(6,24)，又易知M(6,0)，所以△OQM的面积$S=\frac{1}{2}\times6\times24 = 72$.
当直线l的斜率存在时，不妨设直线l的方程为y - 4 = k(x - 6)，令y = 0，得$x = 6-\frac{4}{k}$，又由$\begin{cases}y = 4x\\y - 4 = k(x - 6)\end{cases}$，消x得到$y=\frac{24k - 16}{k - 4}$.
由题知$\begin{cases}6-\frac{4}{k}＞0\\\frac{24k - 16}{k - 4}＞0\end{cases}$，得k＜0或k＞4.