《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1.[湖南五市十校2023高二期中]已知圆C的圆心坐标为(1,1),且过坐标原点O,则圆C的方程为　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.(x−1)²+(y−1)²=√2
B.(x−1)²+(y−1)²=2
C.(x+1)²+(y+1)²=2
D.x²+y²=2

答案： B 【解析】由题意，圆心$C(1,1)$，半径$r = |OC|=\sqrt{(1 - 0)^2+(1 - 0)^2}=\sqrt{2}$，故圆$C$的方程为$(x - 1)^2+(y - 1)^2 = 2$. 故选 B.

2.[广东东莞四校2024高二期中]若圆C经过点A(2,5),B(4,3),且圆心在直线l:3x−y−3=0 上,则圆C的方程为　　　　　　　　(　　　)
A.(x−2)²+(y−3)²=4
B.(x−2)²+(y−3)²=8
C.(x−3)²+(y−6)²=2
D.(x−3)²+(y−6)²=10

答案： A 【解析】圆$C$经过点$A(2,5)$，$B(4,3)$，可得线段$AB$的中点为$(3,4)$，又$k_{AB}=\frac{5 - 3}{2 - 4}=-1$，所以线段$AB$的中垂线的方程为$y - 4 = x - 3$，即$x - y+1 = 0$. 由$\begin{cases}x - y+1 = 0\\3x - y - 3 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$，即$C(2,3)$，圆$C$的半径$r = |CA|=\sqrt{(2 - 2)^2+(5 - 3)^2}=2$，所以圆$C$的方程为$(x - 2)^2+(y - 3)^2 = 4$. 故选 A.
【规律方法】若圆经过$A$，$B$两点，则圆心必在线段$AB$的中垂线上.

3.[浙江嘉兴2024高二期中]已知点A(1,−1)和点B(−1,3),则以线段AB为直径的圆的标准方程为　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.(x+2)²+(y−4)²=5
B.(x+2)²+(y−4)²=20
C.x²+(y−1)²=5
D.x²+(y−1)²=20

答案： C 【解析】因为点$A(1,-1)$和点$B(-1,3)$为直径的两端点，所以线段$AB$的中点$M(0,1)$即为圆心. 由$|AB|=\sqrt{[1 - (-1)]^2+(-1 - 3)^2}=2\sqrt{5}$，则圆的半径$r=\frac{|AB|}{2}=\sqrt{5}$，故圆的标准方程为$x^2+(y - 1)^2 = 5$. 故选 C.
【规律方法】若$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则以线段$AB$为直径的圆的方程是$(x - x_1)(x - x_2)+(y - y_1)(y - y_2)=0$.

4.以点A(1,2)为圆心,两平行线x−y+1=0与2x−2y+7=0之间的距离为半径的圆的方程为(　　　)
A.(x+1)²+(y+2)²=$\frac{9}{2}$
B.(x−1)²+(y−2)²=$\frac{25}{8}$
C.(x+1)²+(y+2)²=$\frac{25}{8}$
D.(x−1)²+(y−2)²=$\frac{9}{2}$

答案： B 【解析】直线方程$2x - 2y+7 = 0$可化为$x - y+\frac{7}{2}=0$，则两条平行线之间的距离$d=\frac{\left|\frac{7}{2}-1\right|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$，即圆的半径$r=\frac{5\sqrt{2}}{4}$，所以所求圆的方程为$(x - 1)^2+(y - 2)^2=\frac{25}{8}$. 故选 B.

5.[天津北辰区2024高二期中]已知直线l₁过原点,且与直线l₂:3x−2y−1=0平行.
(1)求直线l₁的方程;
(2)求l₁与l₂间的距离;
(3)若圆C经过点A(1,3),B(2,2),并且被直线l₁平分,求圆C的方程.

答案： 【解】
(1)根据题意，直线$l_1$与$l_2:3x - 2y - 1 = 0$平行，则直线$l_1$的斜率为$\frac{3}{2}$，又直线$l_1$过原点，所以直线$l_1$的方程为$3x - 2y = 0$.
(2)直线$l_1$的方程为$3x - 2y = 0$，直线$l_2:3x - 2y - 1 = 0$，所以$l_1$与$l_2$间的距离为$\frac{|0 + 1|}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}=\frac{1}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}}{13}$.
(3)设圆心$C(a,b)$. 由于直线$l_1:3x - 2y = 0$平分圆$C$，所以圆心在直线$l_1$上，即$3a - 2b = 0$. ① 又$|CA| = |CB|$，所以有$\sqrt{(a - 1)^2+(b - 3)^2}=\sqrt{(a - 2)^2+(b - 2)^2}$. ② 联立①②，解得$a = 2$，$b = 3$. 所以$|CA|=\sqrt{(2 - 1)^2+(3 - 3)^2}=1$. 所以圆$C$的方程为$(x - 2)^2+(y - 3)^2 = 1$.

6.[广东惠州2024高二期中]点P(m,3)与圆(x−2)²+(y−1)²=2的位置关系为　　(　　　)
A.点在圆外　　　　　B.点在圆内
C.点在圆上　　　　　D.与m的值有关

答案： A 【解析】$\because(m - 2)^2+(3 - 1)^2=(m - 2)^2+4＞2$，$\therefore$点$P(m,3)$在圆$(x - 2)^2+(y - 1)^2 = 2$的外部，故选 A.

7.[辽宁省实验中学2023高二月考]若点(1,1)在圆(x−a)²+y²=5的外部,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.(−1,3)
B.(−2,2)
C.(−∞,−1)∪(3,+∞)
D.(−∞,−2)∪(2,+∞)

答案： C 【解析】由题意可知$(1 - a)^2+1^2＞5$，解得$a＜-1$或$a＞3$，则实数$a$的取值范围是$(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$，故选 C.

8.已知圆C:(x−2)²+(y+m−4)²=1,当m变化时,圆C上的点到原点的最短距离是________.

答案： 1 【解析】由题意可得，圆$C$的圆心坐标为$(2,4 - m)$，半径为 1，圆$C$上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径 1，即$d_{min}=\sqrt{2^2+(4 - m)^2}-1$，当$m = 4$时，$d_{min}$最小，此时$d_{min}=1$.

9.已知某圆圆心C在x轴上,半径为5,且在y轴上截得线段AB的长为8,则圆的标准方程为　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.(x+3)²+y²=25　　　B.x²+(y±3)²=25
C.(x±3)²+y²=5　　　D.(x±3)²+y²=25

答案：
D 【解析】由题意得$|AC| = 5$，$|AB| = 8$，所以$|AO| = 4$，在$Rt\triangle AOC$中，$|OC|=\sqrt{|AC|^2-|AO|^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$. 如图所示，有两种情况：

故圆心$C$的坐标为$(-3,0)$或$(3,0)$，故所求圆的标准方程为$(x\pm3)^2+y^2 = 25$.
【易错警示】解答本题易出现两种错误，一是求解方程时，因受思维定式的影响，利用图形辅助解题时漏掉一种情况；二是由于对圆的标准方程形式把握不准而将圆的标准方程写错.