《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

12.已知$\boldsymbol{a}=(2x,1,3)$，$\boldsymbol{b}=(1,-2y,9)$，如果$\boldsymbol{a}// \boldsymbol{b}$，则$x + y=$　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$-\frac{4}{3}$　
　B.0　　　
　C.$\frac{4}{3}$　　　
　D.-1

答案： A　[解析]由题设，存在$\lambda\in R$，使$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}$，则$\begin{cases}2x = \lambda\\1 = -2\lambda y\\3 = 9\lambda\end{cases}$，可得$\begin{cases}x = \frac{1}{6}\\y = -\frac{3}{2}\\\lambda = \frac{1}{3}\end{cases}$，所以$x + y=\frac{1}{6}-\frac{3}{2}=-\frac{4}{3}$.故选A.

13.[辽宁大连八中2024高二期中]已知向量$\boldsymbol{a}=(2,1,-2)$，$\boldsymbol{b}=(2,2,m)$，若$\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b}$，则$m=$　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.1　　
　B.-2　　
　C.-3　　
　D.3

答案： D　[解析]由题意$\boldsymbol{a}=(2,1,-2)$，$\boldsymbol{b}=(2,2,m)$，$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，所以$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=4 + 2 - 2m = 0$，解得$m = 3$.故选D.

14.[福建厦门2024高二段考]已知向量$\boldsymbol{a}=(1,1,0)$，$\boldsymbol{b}=(-1,0,c)$，且$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{5}$。
(1)求$c$的值；
(2)若$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$互相垂直，求实数$k$的值；

答案： [解]
(1)$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(1,1,0)+(-1,0,c)=(0,1,c)$，所以$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{1 + c^2}=\sqrt{5}$，解得$c = \pm2$.
(2)当$c = 2$时，$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k - 1,k,2)$，$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(2,2,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2)$.因为$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$互相垂直，所以$3(k - 1)+2k - 4 = 0$，解得$k = \frac{7}{5}$.
当$c = -2$时，$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(k,k,0)+(-1,0,-2)=(k - 1,k,-2)$，$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(2,2,0)-(-1,0,-2)=(3,2,2)$.因为$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$互相垂直，所以$3(k - 1)+2k - 4 = 0$，解得$k = \frac{7}{5}$.
综上，$k = \frac{7}{5}$.

15.在空间直角坐标系$Oxyz$中，下列说法正确的是　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.向量$\overrightarrow{AB}$的坐标与点$B$的坐标相同
B.向量$\overrightarrow{AB}$的坐标与点$A$的坐标相同
C.向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{OB}$的坐标相同
D.向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$的坐标相同

答案： D　[解析]因为点$A$，$B$不一定为坐标原点，所以选项$A$，$B$，$C$都不正确.因为$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，所以选项$D$正确.

16.已知$A(1,-1,1)$，$B(3,1,5)$，则线段$AB$的中点在空间直角坐标系中的位置是　　(　　　)
A.在$y$轴上　　　　
　B.在$xOy$平面内
C.在$xOz$平面内　　　
　D.在$yOz$平面内

答案： C　[解析]
∵$A(1,-1,1)$，$B(3,1,5)$，
∴线段$AB$的中点为$(2,0,3)$.
∵线段$AB$中点的纵坐标为$0$，
∴该点在$xOz$平面内.故选C.

17.[山东济南实验中学2023高二月考]如图，在三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，侧面$BB_{1}C_{1}C$是边长为2的菱形，$\angle CBB_{1}=60^{\circ}$，$BC_{1}$交$B_{1}C$于点$O$，

$AO\perp$侧面$BB_{1}C_{1}C$，且$\triangle AB_{1}C$为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系$Oxyz$，则点$A_{1}$的坐标为________。

答案：
$(-\sqrt{3},1,1)$　[解析]如图，过$A$作$AE\perp$平面$BCC_1B_1$，垂足为$E$，连接$B_1E$，$C_1E$，$OE$，则$OE// CC_1$，$BE// OC$，$CE// OB$，$AE// AO$.
∵$BC = 2$，
∴$AO = 1$，
∴$AE = AO = 1$，$CE = OB = \frac{1}{2}BC = 1$，$BE = OC = \frac{\sqrt{3}}{2}BC = \sqrt{3}$，
∴点$A$的坐标为$(-\sqrt{3},1,1)$.

18.已知点$A(-3,1,4)$，则点$A$关于$x$轴对称的点的坐标为　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$(-3,-1,-4)$　　　
　B.$(-3,-1,4)$
C.$(3,1,4)$　　　　　
　D.$(3,-1,-4)$

答案： A　[解析]关于$x$轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标、竖坐标均互为相反数，所以点$A(-3,1,4)$关于$x$轴对称的点的坐标为$(-3,-1,-4)$.
[规律方法]空间中的点关于坐标轴对称的点的坐标的特点：对称坐标轴对应的坐标不变，其余符号改变.

19.[辽宁沈阳二中2024高二段考]在空间直角坐标系中，点$A(1,2,-1)$关于$xOy$平面的对称点的坐标为________。

答案： $(1,2,1)$　[解析]点$A(1,2,-1)$关于$xOy$平面的对称点的坐标为$(1,2,1)$.

20.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，则$A_{1}C$的中点$E$到$AB$的中点$F$的

距离为　　　　　　(　　　)
A.$2\sqrt{2}$　
　B.$\sqrt{2}$　　
　C.2　　　
　D.1

答案： B　[解析]由题知$A(2,0,2)$，$C(0,2,0)$，$AC$的中点$E(1,1,1)$，$A_1(2,0,0)$，$B_1(2,2,0)$，$AB$的中点$F(2,1,0)$，
∴$AC$的中点$E$到$AB$的中点$F$的距离为$EF = |\overrightarrow{EF}|=\sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - 1)^2 + (0 - 1)^2}=\sqrt{2}$.故选B.

21.在空间直角坐标系中，已知$A(1,2,3)$，$B(-2,-1,6)$，$C(3,2,1)$，$D(4,3,0)$，则直线$AB$与$CD$的位置关系是　　　　　　(　　　)
A.垂直　　　　　　
　B.平行
C.异面　　　　　　
　D.相交但不垂直

答案： B　[解析]因为$A(1,2,3)$，$B(-2,-1,6)$，$C(3,2,1)$，$D(4,3,0)$，所以$\overrightarrow{AB}=(-3,-3,3)$，$\overrightarrow{CD}=(1,1,-1)$，可得$\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{CD}$，所以$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{CD}$，即直线$AB$与$CD$的位置关系是平行.故选B.

22.(多选)[广东中山2024高二期末]在空间直角坐标系中，下列说法正确的是　　　(　　　)
A.点$P(1,2,3)$关于坐标平面$xOy$的对称点的坐标为$(-1,2,-3)$
B.点$Q(1,0,2)$在平面$xOz$上
C.$z = 1$表示一个与坐标平面$xOy$平行的平面
D.坐标平面$xOy$与坐标轴$z$轴垂直

答案： BCD　[解析]对于A，点$P(1,2,3)$关于坐标平面$xOy$的对称点的坐标为$(1,2,-3)$，A错误；对于B，点$Q(1,0,2)$的纵坐标为$0$，则点$Q(1,0,2)$在平面$xOz$上，B正确；对于C，$z = 1$，则横、纵坐标为任意值，所以$z = 1$表示一个与坐标平面$xOy$平行的平面，C正确；对于D，因为$x$轴、$y$轴均与$z$轴垂直，且$x$轴、$y$轴交于点$O$，则坐标平面$xOy$与坐标轴$z$轴垂直，D正确.故选BCD.

23.[辽宁大连第二十四中学2023高二期中]已知向量$\boldsymbol{a}=(2,1,0)$，$\boldsymbol{b}=(-1,0,2)$，若向量$\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b}$与$2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}$的夹角为锐角，则实数$k$的取值范围是________。

答案： $\left\{k\mid k ＞ -\frac{4}{11}且k\neq\frac{3}{2}\right\}$　[解析]因为$\boldsymbol{a}=(2,1,0)$，$\boldsymbol{b}=(-1,0,2)$，所以$\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b}=(2 - k,1,2k)$，$2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}=(1,2,6)$.因为向量$\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b}$与$2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}$的夹角为锐角，所以$(\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b})\cdot(2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b})=2 - k + 2 + 12k = 11k + 4＞0$，解得$k ＞ -\frac{4}{11}$.当$(\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b})//(2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b})$时，$\frac{2 - k}{1}=\frac{1}{2}=\frac{2k}{6}$，解得$k = \frac{3}{2}$，所以实数$k$的取值范围为$\left\{k\mid k ＞ -\frac{4}{11}且k\neq\frac{3}{2}\right\}$.
[易错警示]易忽略当$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = 0$时，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}＞0$也成立的情况，所以求解此类问题时，要注意排除特殊情况.