《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

10. 已知$P(1,\sqrt{3})$为双曲线$\frac{y^{2}}{a^{2}}-x^{2}=1(a＞0)$上的点,则该双曲线的离心率为 ( )
A. $\frac{\sqrt{5}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{15}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{10}}{2}$
D. $\sqrt{5}$

答案： B 【解析】因为$P(1,\sqrt{3})$为双曲线$\frac{y^{2}}{a^{2}}-x^{2}=1(a ＞ 0)$上的点，所以$\frac{(\sqrt{3})^{2}}{a^{2}}-1 = 1$，解得$a=\frac{\sqrt{6}}{2}$或$a=-\frac{\sqrt{6}}{2}$（舍），
所以$a^{2}=\frac{3}{2}$，又$b^{2}=1$，所以$c^{2}=a^{2}+b^{2}=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$，解得$c=\frac{\sqrt{10}}{2}$或$c=-\frac{\sqrt{10}}{2}$（舍），所以该双曲线的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{15}}{3}$。故选 B。

11. [山东济宁2024高二质量检测]若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的一条渐近线与直线$x + 2y + 3 = 0$垂直,则该双曲线的离心率为 ( )
A. 2
B. $\sqrt{3}$
C. $\sqrt{5}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

答案： C 【解析】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$，
直线$x + 2y + 3 = 0$的斜率为$-\frac{1}{2}$，所以
由题意可得$\frac{b}{a}=2$，所以双曲线的离心率$e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{5}$，故选 C。

12. 设$F_{1},F_{2}$分别为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得$|PF_{1}|+|PF_{2}|=3b$,$|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=\frac{9}{4}ab$,则双曲线的离心率为 ( )
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{5}{3}$
C. $\frac{9}{4}$
D. 3

答案： B 【解析】根据双曲线的定义$||PF_{1}|-|PF_{2}|| = 2a$，可得$|PF_{1}|^{2}-2|PF_{1}||PF_{2}|+|PF_{2}|^{2}=4a^{2}$。由已知可得$|PF_{1}|^{2}+2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|+|PF_{2}|^{2}=9b^{2}$。两式作差得$-4|PF_{1}||PF_{2}|=4a^{2}-9b^{2}$。又$|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=\frac{9}{4}ab$，所以
$4a^{2}+9ab - 9b^{2}=0$，即$(4a - 3b)\cdot(a + 3b)=0$，得$4a = 3b$。两边平方得$16a^{2}=9b^{2}$，即$16a^{2}=9(c^{2}-a^{2})$，即$25a^{2}=9c^{2}$，则$\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{25}{9}$，所以双曲线的离心率$e=\frac{5}{3}$，故选 B。

13. 双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的离心率为$e_{1}$,$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1(a＞0,b＞0)$的离心率为$e_{2}$,则$\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}}$的值为 ( )
A. 1
B. 2
C. $\frac{1}{2}$
D. 4

答案： A 【解析】由题意可得双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a ＞ 0,b ＞ 0)$的离心率$e_{1}=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}$，$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1(a ＞ 0,b ＞ 0)$即$\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1(a ＞ 0,b ＞ 0)$的离心率$e_{2}=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}}}$，所以$\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}}=\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=1$，故选 A。

14. [北京师范大学附属实验中学2024高二期中]已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的右焦点为F,过点F作x轴的垂线l,l在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于A,B两点. 若点A是线段FB的中点,则双曲线的离心率为________.

答案：
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 【解析】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a ＞ 0,b ＞ 0)$的渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$。

由$\begin{cases}\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\\x = c\end{cases}$解得$\begin{cases}x = c\\y=\frac{b^{2}}{a}\end{cases}$或$\begin{cases}x = c\\y=-\frac{b^{2}}{a}\end{cases}$，又$A$在第一象限，故$A(c,\frac{b^{2}}{a})$。
由$\begin{cases}y=\frac{b}{a}x\\x = c\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = c\\y=\frac{bc}{a}\end{cases}$，$\therefore B(c,\frac{bc}{a})$。
$\because F(c,0)$，点$A$是线段$FB$的中点，$\therefore\frac{2b^{2}}{a}=\frac{bc}{a}$，$\therefore c = 2b$，
$\therefore a=\sqrt{c^{2}-\frac{1}{4}c^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}c$，
$\therefore e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

15. 已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$与直线$y = 2x$有交点,则双曲线的离心率的取值范围为 ( )
A. $(1,\sqrt{5})$
B. $(1,\sqrt{5}]$
C. $(\sqrt{5},+\infty)$
D. $[\sqrt{5},+\infty)$

答案： C 【解析】因为双曲线的一条渐近线方程为$y=\frac{b}{a}x$，由题意得$\frac{b}{a}＞2$，所以双曲线离心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}＞\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$。故选 C。

16. 已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点分别为$F_{1},F_{2}$,点P在双曲线的右支上,且$|PF_{1}| = 3|PF_{2}|$,则双曲线离心率的取值范围是 ( )
A. $(1,4]$
B. $[4,+\infty)$
C. $(1,2]$
D. $[2,+\infty)$

答案： C 【解析】因为$|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a$，又$|PF_{1}|=3|PF_{2}|$，所以$|PF_{1}|=3a$，$|PF_{2}|=a$。又$|PF_{2}|\geqslant c - a$，即$a\geqslant c - a$，则$\frac{c}{a}\leqslant2$，所以离心率$e\in(1,2]$。故选 C。

17. 设双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点分别为$F_{1},F_{2}$,过点$F_{2}(c,0)$作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A. 已知$Q(c,\frac{3a}{2})$,$|F_{2}Q|＞|F_{2}A|$,点P是双曲线C右支上的动点,且$|PF_{1}|+|PQ|＞\frac{3}{2}|F_{1}F_{2}|$恒成立,则双曲线C的离心率的取值范围是 ( )
A. $(1,\frac{7}{6})$
B. $(\frac{10}{2},+\infty)$
C. $(\frac{7}{6},\frac{\sqrt{10}}{2})$
D. $(1,\frac{\sqrt{10}}{2})$

答案： A 【解析】易知$A(c,\frac{b^{2}}{a})$，由$|F_{2}Q|＞|F_{2}A|$，得$\frac{3a}{2}＞\frac{b^{2}}{a}$，即$\frac{b^{2}}{a^{2}}＜\frac{3}{2}$，则离心率$e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}＜\sqrt{1+\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$。$\because|PF_{1}|+|PQ|＞\frac{3}{2}|F_{1}F_{2}|$恒成立，$\therefore(|PF_{1}|+|PQ|)_{min}＞3c$。又$|PF_{1}|+|PQ|=|PF_{2}|+2a+|PQ|\geqslant|QF_{2}|+2a=\frac{7a}{2}$，$\therefore\frac{7a}{2}＞3c$，$\therefore e＜\frac{7}{6}$。又$e＞1$，$\therefore e\in(1,\frac{7}{6})$。故选 A。

18. 已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的右焦点为F,若过点F且倾斜角为$60^{\circ}$的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线的离心率e的取值范围是________.

答案： $[2,+\infty)$ 【解析】由题意知$\frac{b}{a}\geqslant\sqrt{3}$，则$\frac{b^{2}}{a^{2}}\geqslant3$，所以$c^{2}-a^{2}\geqslant3a^{2}$，即$c^{2}\geqslant4a^{2}$，所以$e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}\geqslant4$，所以$e\geqslant2$。
【归纳总结】求双曲线的离心率或离心率的取值范围的常用方法有两种：一种是直接建立$e$的关系式求$e$的值或$e$的取值范围；另一种是建立$a$，$b$，$c$的齐次关系式，将$b$用$a$，$c$表示，整理得关于$e$的关系式，进而求解。

19. [福建厦门一中2024高二期中]若双曲线的一条渐近线经过点$(8,-6)$,则其离心率等于________.

答案： $\frac{5}{4}$或$\frac{5}{3}$ 【解析】设一条渐近线方程为$y = kx$，由题意知$-6 = 8k$，得$k=-\frac{3}{4}$，所以渐近线方程为$y=\pm\frac{3}{4}x$。若焦点在$x$轴上，则$\frac{b}{a}=\frac{3}{4}$，于是离心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=\frac{5}{4}$；若焦点在$y$轴上，则$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$，于是离心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=\frac{5}{3}$。

20. 已知双曲线的渐近线方程为$2x\pm3y = 0$,且焦距是$2\sqrt{13}$,则双曲线的方程为________.

答案： $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$或$\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{9}=1$ 【解析】由题意，设双曲线方程为$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=\lambda(\lambda\neq0)$。若$\lambda＞0$，则$a^{2}=9\lambda$，$b^{2}=4\lambda$，$c^{2}=a^{2}+b^{2}=13\lambda$。由题设知$2c=2\sqrt{13}$，$\therefore\lambda = 1$，故所求双曲线的方程为$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$。
若$\lambda＜0$，则$a^{2}=-4\lambda$，$b^{2}=-9\lambda$，$c^{2}=a^{2}+b^{2}=-13\lambda$。
由$2c=2\sqrt{13}$，得$\lambda=-1$，故所求双曲线的方程为$\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{9}=1$。
综上，所求双曲线的方程为$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$或$\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{9}=1$。
【易错警示】注意渐近线不能确定焦点位置，故需分类讨论。