《2024年高中必刷题高二数学选择性必修第一册人教B版》

1. [山东泰安一中2024高二月考]已知点A(x,2)与B(-3,y)关于坐标原点对称,则x + y = ( )
A. 5
B. 1
C. -5
D. -1

答案： B　[解析]因为点A(x,2)与B(-3,y)关于坐标原点对称，所以x = 3，y = - 2，则x + y = 3 + (-2) = 1. 故选B.

2. 点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为________.

答案： （5,6）

3. [辽宁省实验中学2023高二月考]台球运动中反弹球技法是常见的技巧,其中无旋转反弹球是最简单的技法,主球撞击目标球后,目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出,想要让目标球沿着理想的方向反弹,就要事先根据需要确认台边的撞击点,同时做到用力适当,方向精确,这样才能通过反弹将目标球成功击入袋中. 如图,现有一目标球从点A(-2,3)无旋转射入,经过直线y = 1(桌边)上的点P反弹后,经过点B(5,7),则点P的坐标为 ( )

　　　　　　　　　　　　

答案： B

4. [河北邯郸2024高二月考]点P(-2,1)关于直线x - y + 1 = 0的对称点的坐标为 ( )
A. (0,-1)
B. (0,-2)
C. (1,-1)
D. (2,-1)

答案： A 

5. 已知点A(2,0)与点B(0,4)关于直线ax + y + b = 0对称,则a,b的值分别为 ( )

答案： B　[解析]$k_{AB}=\frac{4 - 0}{0 - 2}=-2$，若点A(2,0)与点B(0,4)关于直线ax + y + b = 0对称，则直线AB与直线ax + y + b = 0垂直，直线ax + y + b = 0的斜率是 - a，所以(-a)·(-2)=-1，得$a =-\frac{1}{2}$. 又线段AB的中点(1,2)在直线ax + y + b = 0上，所以a + 2 + b = 0，得$b =-\frac{3}{2}$. 故选B.

6. [安徽合肥2024高二期中]如图,已知某光线从点A(-2,0)射出,经过直线y = x上的点B后第一次反射,此反射光线经过直线x = 4上的点C后再次反射,该反射光线经过点D(2,10),则直线BC的斜率为 ( )

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
D　[解析]设点A(-2,0)关于直线y = x的对称点为$A_1(x_1,y_1)$，则有$\begin{cases}\frac{y_1 - 0}{x_1 + 2}=-1,\\\frac{y_1 + 0}{2}=\frac{x_1 - 2}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1 = 0,\\y_1 = - 2,\end{cases}$所以$A_1(0,-2)$. 又点D(2,10)关于直线x = 4的对称点为$D_1(6,10)$. 根据光的反射原理，可知点$A_1(0,-2)$与点$D_1(6,10)$均在直线BC上，所以$k_{BC}=\frac{10 - (-2)}{6 - 0}=2$. 故选D.

7. 将一张坐标纸折叠一次,使点A(0,2)与点B(-2,0)重合,且点(2022,2023)与点(m,n)重合,则n - m =________.

答案： 1　[解析]点A(0,2)与点B(-2,0)的中点的坐标为$(\frac{0 - 2}{2},\frac{2 + 0}{2})$，即(-1,1)，A(0,2)与B(-2,0)连线的斜率$k_{AB}=\frac{2 - 0}{0 + 2}=1$，所以线段AB的垂直平分线的斜率为 - 1，所以线段AB的垂直平分线的方程为y - 1 = -(x + 1)，即y = - x.
因为点(2022,2023)关于直线y = - x的对称点为(m,n)，所以$\begin{cases}\frac{n - 2023}{m - 2022}=1,\\\frac{n + 2023}{2}=-\frac{m + 2022}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}m = - 2023,\\n = - 2022,\end{cases}$故n - m = - 2022 + 2023 = 1.

8. [四川绵阳南山中学2023高二月考]直线l:4x + 3y - 2 = 0关于点A(1,1)对称的直线的方程为 ( )
A. 4x + 3y - 4 = 0
B. 4x + 3y - 12 = 0
C. 4x - 3y - 4 = 0
D. 4x - 3y - 12 = 0

答案： B　[解析]设直线l:4x + 3y - 2 = 0关于点A(1,1)对称的直线上任意一点P(x,y)，则P(x,y)关于A(1,1)对称的点为(2 - x,2 - y)，又因为(2 - x,2 - y)在直线4x + 3y - 2 = 0上，所以4(2 - x)+3(2 - y)-2 = 0，即4x + 3y - 12 = 0. 故选B.
[多种解法]设直线l:4x + 3y - 2 = 0关于点A(1,1)对称的直线的方程为4x + 3y + b = 0(b≠ - 2)，所以$\frac{|4 + 3 - 2|}{5}=\frac{|4 + 3 + b|}{5}$，所以|7 + b| = 5，所以b = - 12或b = - 2(舍)，即直线l:4x + 3y - 2 = 0关于点A(1,1)对称的直线的方程为4x + 3y - 12 = 0. 故选B.
[名师点拨]若两条直线关于点对称，则这两条直线平行，且对称点到两条直线的距离相等.

9. [江苏常州高级中学2024高二期中]已知直线x + 2y - 3 = 0与直线ax + 4y + b = 0关于点A(1,0)对称,则实数b的值为 ( )
A. 2
B. 6
C. -2
D. -6

答案： A　[解析]由于直线x + 2y - 3 = 0与直线ax + 4y + b = 0关于点A(1,0)对称，所以两直线平行，故2a = 4，则a = 2. 由于点(3,0)在直线x + 2y - 3 = 0上，(3,0)关于点A(1,0)的对称点为(-1,0)，故点(-1,0)在直线ax + 4y + b = 0上，代入可得 - a + b = 0，故b = a = 2，故选A.

10. [湖南常德2024高二联考]若直线l1:2x - y + 3 = 0关于直线l:x - y + 2 = 0对称的直线为l2,则l2的方程为 ( )
A. 2x + y + 1 = 0
B. x + 2y - 1 = 0
C. x + y = 0
D. x - 2y + 3 = 0

答案： D　[解析]联立$\begin{cases}2x - y + 3 = 0,\\x - y + 2 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = - 1,\\y = 1,\end{cases}$即直线$l_1$与l的交点为(-1,1). 又点A(0,3)在$l_1$上，设A关于直线l的对称点为$A_1(a,b)$，则$\begin{cases}\frac{b - 3}{a - 0}=-1,\\\frac{a + 0}{2}-\frac{b + 3}{2}+2 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = 2,\end{cases}$即$A_1(1,2)$. 所以直线$l_2$的斜率k = $\frac{2 - 1}{1 - (-1)}=\frac{1}{2}$，从而直线$l_2$的方程为y - 2 = $\frac{1}{2}(x - 1)$，即x - 2y + 3 = 0. 故选D.

11. 若两条平行直线l1:x - 2y + m = 0(m＞0)与l2:2x + ny - 6 = 0之间的距离是2\sqrt{5},则直线l1关于直线l2对称的直线的方程为 ( )
A. x - 2y - 13 = 0
B. x - 2y + 2 = 0
C. x - 2y + 4 = 0
D. x - 2y - 6 = 0

答案： A　[解析]因为直线$l_1$:x - 2y + m = 0(m＞0)与$l_2$:2x + ny - 6 = 0平行，所以n = - 2×2 = - 4.
又两条平行直线$l_1$:x - 2y + m = 0(m＞0)与$l_2$:2x + ny - 6 = 0之间的距离是$2\sqrt{5}$，所以$\frac{|2m + 6|}{\sqrt{4 + 16}}=2\sqrt{5}$，又m＞0，解得m = 7，即直线$l_1$:x - 2y + 7 = 0，$l_2$:x - 2y - 3 = 0. 设直线$l_1$关于直线$l_2$对称的直线方程为x - 2y + c = 0(c≠7)，则$\frac{|-3 - c|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$，解得c = - 13，故所求直线方程为x - 2y - 13 = 0. 故选A.